© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

HARDE, maar ook  ZACHTERE bewijzen

"Geen kat heeft 8 staarten"
"1 kat heeft 1 staart meer dan geen kat"
"Daaruit volgt dat 1 kat 9 staarten heeft!"

De volgende bewijzen zijn (een beetje) geordend naar bewijsmethode.
Ik heb de categoriŽn  Deductie, Inductie, Visueel, Het Ongerijmde, Constructie, Symmetrie, Pigeon-Hole,
Oneindig Afdalen en Uitputting genoemd.

Waaraan voldoet een "mooi" wiskundig bewijs? Ik vind eigenlijk dat de stelling niet te ingewikkeld mag zijn, en het bewijs ervan ook niet! Maar ook niet te voor de hand liggend. De beroemde "Laatste stelling van Fermat" hiernaast is een voorbeeld van een eenvoudige stelling maar valt af doordat het bewijs veel te moeilijk is. (Een ruwe schets van het bewijs kun je hier vinden). Met het "Vermoeden van Goldbach" is het nog veel erger gesteld: dat is een zo mogelijk nog eenvoudiger bewering, maar er is nog geen oplossing voor gevonden. Sterker nog, voor de eerlijke vinder ligt een beloning van een miljoen te wachten!!!

Het vermoeden van Goldbach:

"Elk even getal kan als som van twee priemgetallen geschreven worden"

....er is zelfs een postzegel van...

 

 

 

xx
   
   

Hierboven kun je kiezen uit een bewijsmethode waar je meer over wilt weten.
Veel bewijsplezier!


Maar nu de keerzijde van de medaille. 
Natuurlijk is niet alles te bewijzen.
Laten we kijken naar de drie beruchtste problemen:

KLASSIEKE PROBLEMEN

De oude Grieken waren al gefascineerd door bewijzen en constructies en de combinatie daarvan. Zij kampten echter eeuwenlang met drie grote problemen:

1.  De trisectie van een hoek.
Gegeven een bepaalde hoek, hoe deel je die met passer en liniaal in drieŽn?
2.  De kwadratuur van de cirkel.
Gegeven een cirkel, hoe construeer je met passer en liniaal een vierkant met dezelfde oppervlakte als de cirkel? In feite komt dit neer op het construeren van een lijnstuk met lengte p.
3.  De verdubbeling van de kubus.
Gegeven een kubus, hoe construeer je met passer en liniaal een kubus met inhoud het dubbele van de oorspronkelijke kubus? Dit komt dus neer op het construeren van een lijnstuk van lengte 3÷2.

De legende gaat dat de burgers van Athene door een epidemie geteisterd werden, en dat zij in 430 voor Christus raad zochten bij het orakel van Apollo te Delos. Het orakel antwoordde dat het altaar van Apollo (dat de vorm van een kubus had) verdubbeld moest worden om de epidemie op te heffen. Gedachteloos begon men een altaar te bouwen met zijden dubbel zo groot als het oorspronkelijke. Maar de inhoud was helaas nu 8 keer zo groot. De goden waren vertoornd geraakt door deze blunder en de epidemie verergde. Men besloot ten einde raad Plato te raadplegen. Die zei: "De goden gaven ons deze opdracht niet omdat zij een groter altaar wilden, maar als verwijt dat wij de mathematica en geometrie verwaarlozen!" Vanaf die tijd wordt de verdubbeling van de kubus ook wel het "Delian Problem" genoemd.

Ondanks talloze pogingen bleek men niet in staat deze problemen op te lossen. En het sneue is: deze drie problemen zijn niet op te lossen, zo is later bewezen. Het bewijs daarvan is nogal lastig.


Natuurlijk waren er wel een aantal "valsspelers"; zij ontwikkelden krommen of speciale apparaten om de problemen wťl op te lossen. Maar natuurlijk zijn dit niet "echte" constructies:  Euclides zou zich omdraaien in zijn graf!!!
Een paar zulke notoire valsspelers:  

 

En natuurlijk kan het ook door een benadering. Zelfs tot oneindig nauwkeurig.
Vreemd genoeg heeft dat te maken met de figuur hiernaast. Er zijn daarin evenveel en even grote vierkanten van elke kleur. Dus het rode en het gele en het blauwe deel zijn elk 1/3 van het geheel.

Als je alleen het rode deel bekijkt dan zie je van het grote vierkant naar de kleineren dat dan moet gelden:

1/4 + 1/16 + 1/64 + ..... = 1/3

Maar als je rood en geel samen bekijkt dan zie je van boven naar beneden:

1/2 + 1/8 + 1/32 + .... = 2/3
 

En nou komt de clou:  als je beide reeksen van elkaar aftrekt dan krijg je:

(1/2 + 1/8 + 1/32 + ....) - ( 1/4 + 1/16 + 1/64 + ..... ) = 2/3 - 1/3 = 1/3

Herrangschikken geeft:    1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + 1/32 - 1/64 + .... = 1/3

En BINGO!! daar hebben we de oplossing om een hoek in drieŽn te delen:

Deel de hoek in tweeŽn (dat kan wťl met passer en liniaal). Dat geeft dus  1/2
Deel daarna de helft wťťr in tweeŽn.
Dat geeft  1/2 - 1/4
Dan weer "terug naar het midden in tweeŽn delen"
En ga zo maar door.  De rode pijlen in de figuur hiernaast geven het proces weer.

Uiteindelijk delen we de hoek in drieŽn, zo nauwkeurig als we maar willen.......

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)