Symmetrie

Symmetriebewijzen zijn misschien wel de mooiste en eenvoudigste bewijzen die er zijn. Er zijn er helaas niet zoveel van. Een voorbeeld is deze:

Als P op een cirkel met middelpunt M ligt,
dan staat MP loodrecht op de raaklijn aan die cirkel in P.

Het bewijs gaat trouwens weer vanuit het ongerijmde:

Stel dat het niet zo is, maar dat MPA ongelijk is aan 90. Dan is MPA ongelijk aan MPB (samen zijn ze immers 180). Maar als ik de  figuur spiegel in MP, dan krijg ik de oorspronkelijke opgave met A en B verwisseld. Het kan natuurlijk niet zo zijn dat ik bij opgave 1 een bepaalde waarde voor MPA zou krijgen maar bij opgave 2 een andere waarde voor MPB.
Daarom moeten de hoeken gelijk zijn en dat kan alleen als ze elk 90 zijn want samen zijn ze 180.
QED