h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Het Ongerijmde
Proof By Contradiction:
1. State your theorem
2. Wait for someone to disagree
3. Contradict them.
Logische Verantwoording.

Een bewijs uit het ongerijmde ('reductio ad absurdum') berust op een stukje logica.
Een bewering  "als A  dan  B"  schrijven we wiskundig als volgt   A
B
De pijl heet een implicatiepijl. (A impliceert B). Maar hieruit volgt logisch gezien niet dat "Als  B  dan  A".

Vergelijk:  "Als het morgen regent dan blijf ik binnen" met  "Als ik morgen binnen blijf, dan regent het". Deze beweringen zijn duidelijk niet gelijkwaardig, want als dat wel zo was, dan zou ik door binnen te blijven het morgen kunnen laten regenen!!

"Als het morgen regent dan blijf ik binnen" is wl gelijkwaardig met:  "Als ik morgen niet binnen blijf, dan regent het niet"  Logisch genoteerd:  B 
A  ( betekent "niet", dus als niet-B dan niet-A).
 
Maar goed, ook voor de allerbeste logicus van deze eeuw waren dit soort redeneringen te moeilijk!!!
WAAAAAT??? Zul je zeggen? Beheerste Frege deze elementaire logica-materie niet? Of Gdel misschien? Nee... niet zeggen... was het dan Russell???
Nee, natuurlijk niet! Je mist dan de allerbeste logicus van deze eeuw. 

Zonder twijfel is dat natuurljk..... Mister Spock!!!!
Je zult het niet geloven, maar ook deze Vulcan maakte de elementaire logica-fout hierboven genoemd. 
In een episode van STAR TREK was de Enterprise geraakt door een ionenstorm, en de motoren waren uitgevallen. De volgende twee plaatjes speelden zich vervolgens af tussen captain Kirk en Mr.Spock. Eerst als de motoren uit zijn, daarna als de motoren even later weer aan gaan. Kijk en huiver.....

Brrrrr! Als de beste Logicus ooit zo'n elementaire fout maakt dan kun je het ons gewone stervelingen natuurlijk ook niet kwalijk nemen! Mr. Spock draait hier zomaar een bewering Als A dan B  om in Als B dan A!

Je mag een bewering als... dan....wel omdraaien, maar alleen als je voor beide maar NIET zet!!!
Spock zou als de motoren niet aan zouden gaan, hoogstens kunnen concluderen dat  Scotty er NIET is.

Deze "omkering-met-NIET-ervoor"  geeft ineens de mogelijkheid een bewering te bewijzen! Stel dat ik bewering A wil bewijzen. Dan laat ik zien dat uit A een foute bewering volgt.
A
B  is immers gelijkwaardig met  B A = A. Dus als ik zeker weet dat B fout is, dan is B waar, en dus A ook. Ik heb zo'n redenering hierboven als stiekem gebruikt, nl. naast het varkentje hierboven ("Deze beweringen zijn...") en je geloofde het direct natuurlijk!.

Een bewijs uit het ongerijmde klinkt altijd als volgt:

"Stel dat bewering A NIET waar zou zijn. Dan volgt daar B uit. Maar omdat we van B weten dat het niet waar is, moet A dus wel waar zijn".

Beroemd Voorbeeldje:    Stevin's Hellend Vlak

De "Beghinselen der Weeghconst"  van Simon Stevin werd in 1586 uitgegeven (in n band met "De Weeghdaet", "De Beghinselen des Waterwichts", en een "Anhang" en in 1605 kwam er nog een "Byvough"). Het behandelt de theorie van krachten die elkaar in evenwicht houden. Zoiets als wat wij nu statica zouden noemen. 
Een klassiek en antiek probleem was : "Evenwicht op een hellend vlak"

Twee bollen, verbonden door een touw via een katrol hangen rusten op twee vlakken met verschillende hellingshoeken. (het touw en de katrol zijn gewichtloos en alles beweegt wrijvingsloos uiteraard) 

Wanneer is er evenwicht? 

Stevin zegt in zijn "Voorstel 19":
Ghelijck des driehoucx rechter sijde tot de slincker, also t'staltwicht des cloots op de slincker sijde, tottet staltwicht des cloots op de rechter sijde.

Zo. Daar kun je 't mee doen.
Hij bedoelt natuurlijk te zeggen dat er evenwicht als de verhouding van de gewichten gelijk is aan de verhouding van de lengte van de zijden waarop zij rusten. 
Als bijv. de rechterzijde dubbel zo lang is als de linkerzijde, dan moet voor evenwicht het blauwe gewicht ook dubbel zo groot zijn als het rode. 
Stevin geeft als bewijs het beroemde 'clootcrans-bewijs' met de "bollenkrans"  hiernaast. Hij was er z mee in zijn nopjes dat de figuur hiernaast zelfs zijn logo is geworden..

STEL dat er gn evenwicht is (het ongerijmde)....
Dan zou de ketting gaan bewegen (geen wrijving!)
Maar in die nieuwe situatie zou er nog steeds geen evenwicht zijn, dus de ketting zou alsmaar door blijven bewegen.
We hebben een Perpetum Mobile!!

"...ende de clooten sullen uyt haer selven een eeuwich roersel maken, t'welck valsch is".

Er moet wel evenwicht zijn.
(Het aantal bollen is uiteraard evenredig met de lengte van de zijde).


 

Contra-Positief

Er is een tweede soort "bewijs uit het ongerijmde" die erg veel lijkt op de hierboven genoemde, maar er is een subtiel verschil. We wilden hierboven bewering A bewijzen, en begonnen dan met  A en hoopten dat daaruit "iets"  tegenstrijdigs zou volgen. Het was alleen niet direct duidelijk wat dat "iets" dan zou moeten zijn. 

Het kan ook directer. 
Zo'n bewijs heet  "Contra-positief" , en gaat als volgt:
We zagen al dat uit  A
B  volgt   B A. 
Dus als we kunnen bewijzen dat uit B  volgt dat A, dan hebben we de bewering  A
B ook bewezen. Let wel:  we bewijzen dus niet een bewering A, maar een bewering van de vorm  "Als A dan B". We zeggen niets over het al of niet waar zijn van A, alleen over de gevolgtrekking (als A waar zou zijn, dan is B ook waar). 

Het doel is hier steeds duidelijk: probeer  A aan te tonen.
"Ho stop eens," hoor ik je al zeggen. "Hierboven bij de ongerijmde bewijzen stond k een als... dan... bewering (namelijk de vierde)". Toch was de aanpak daar anders. Kijk maar:

A = "in een driehoek geldt  a2 + b2 = c2"
B = "de driehoek heeft een rechte hoek".

Contra-positief gaat het z:
Neem een driehoek zonder rechte hoek, en probeer te bewijzen dat dan a2 + b2
c2
In symbolen:  B
A. 

Uit het ongerijmde gaat het z:
Neem een driehoek zonder rechte hoek waarin geldt  a2 + b2 = c2 en probeer op flauwekul uit te komen.
In symbolen:  (B n A) 
  onzin  (maar wlke onzin is nog onbekend)

Voorbeelden van contra-positieve bewijzen:

Gedachte-Experimenten.

Nauw verbonden met de bewijzen uit het ongerijmde zijn de zogenaamde "Gedachte-experimenten".
Het gaat hier meest om natuurkundige dingen die bewezen worden (af en toe zelfs filosofische zaken). De experimenten beginnen bijna allemaal met STEL DAT... en dan volgt er een experiment dat eindigt met met onmogelijke uitkomsten. Hierboven zagen we al een voorbeeld: het Clootcrans-bewijs van Stevin.

Het allerberoemdste gedachte-experiment is dat van Gallile.

Rond de tijd van Gallile was het de algemene opvatting (nog afkomstig van de tirannie van Aristoteles) dat zware voorwerpen sneller vallen dan lichte voorwerpen. Het verhaal gaat dat Gallile vanaf de toren van Pisa verschillende voorwerpen liet vallen om deze theorie te testen. Maar dat is waarschijnlijk nooit gebeurd. Gallile had dat niet nodig ook; hij koos een veel mooiere methode: het gedachte-experiment.

Stel dat een zwaar object sneller valt dan een licht object (zoals Aristoteles beweerde). 
Wat zou er dan gebeuren als we een licht en een zwaar object aan elkaar binden?

Het zware object valt sneller en zal dus door het lichtere object tegengehouden worden. Dus de combinatie van beiden zal minder snel vallen dan het zware object alleen.

Maar de combinatie van beiden kun je ook zien als n nog zwaarder object, en dan zou het juist sneller moeten vallen!
AHA!  een tegenstrijdigheid. Daar heb je het bewijs uit het ongerijmde; we zijn op onzin uitgekomen.

De enige manier om deze onzin op te lossen is te stellen dat alle drie de objecten even snel vallen.

 

Q.E.D.

Maxwells Duivel
Newton's Kanon
Einsteins Tweelingen
Einstein-Podolsky-Rosen
Einstein's Lift
De twee spleten van Feynman
Schrdingers Kat