De gemarkeerde liniaal.
Het is haast niet te geloven maar dit simpele liniaaltje, met slechts twee streepjes erop, kan een hoek in drien delen n de kubus verdubbelen.
Archimedes ontdekte dat al.
Dat gaat als volgt in z'n werk:

 

1.  Hoek in drien

Neem hoek POQ met hoekpunt O.
Teken een cirkel om O met straal AB (die van het liniaaltje)
Verleng been OP aan de andere kant van O.
Leg het liniaaltje nu neer bij het snijpunt van de cirkel met het andere been van de hoek: punt C.
Draai en schuif het vervolgens z dat A op het verlengde been komt te liggen en B op de cirkel.
Dan is hoek OAB 1/3 van POQ.

Waarom?
OB = BA  dus beide hoeken met de enkele blauwe stip zijn gelijk.
Dan is ∠ABO gelijk aan 180 - 2 blauwe stippen. Dus is ∠OBC weer gelijk aan twee blauwe stippen.
OB = OC dus ook ∠OCB is twee blauwe stippen. Dan is ∠COB = 180 - 4 blauwe stippen
Dus zijn ∠AOB en  ∠POC samen 4 blauwe stippen.
Maar ∠AOB is n blauwe stip, dus ∠POC is drie blauwe stippen.

2.  Kubus Verdubbelen.
Neem aan dat de streepjes 1 eenheid uit elkaar staan.
Teken dan eerst een gelijkzijdige driehoek met zijden 1.
Verleng n van de zijden met 1, trek een lijn van het zo gekregen eindpunt door het derde hoekpunt van de driehoek.
Leg het liniaaltje neer als hiernaast en het vraagteken is precies 3√2.