Het vierkleurenprobleem.
Dit is in essentie de vraag:
Kan elke kaart met hoogstens vier kleuren gekleurd worden,
zodat twee aangrenzende landen nooit dezelfde kleur hebben?

Dat het met minder dan vier kleuren niet altijd mogelijk is zie je direct aan het kaartje hiernaast met Luxemburg, Duitsland, Frankrijk en Belgi.  Elk land grenst aan alle anderen, dus zijn absoluut 4 kleuren nodig.

Maar zijn er kaarten waarvoor VIJF kleuren vereist zijn??????

Eerst maar even wat "vage" termen uit de definitie hierboven verduidelijken:
1. "KAART"
De landen van een kaart moeten uit n geheel bestaan (elk punt van een land is vanuit alle andere punten te bereiken zonder andere landen te betreden). Dus een kaart met een "brug" tussen twee delen van een land is niet toegestaan (dat zou het een driedimensionaal probleem maken). Als de blauwe gebieden hiernaast n land zouden zijn is er geen kleur voor het land met het vraagteken te vinden.
Je kunt makkelijk 3D-kaarten met 3D-landen maken waarvoor zoveel kleuren als je maar wilt nodig zijn. Een recept staat HIER.
2. "KAART"
Een kaart  is getekend f op een plat vlak f op een bol. Voor het kleuren zijn beide gevallen identiek. Dat zie je hiernaast; daar wordt een bol 1-op-1 op een plat vlak geprojecteerd (of omgekeerd). Daarvoor moeten we ook de rand van de kaart (tot oneindig) als "land" beschouwen; daar wordt de noordpool zelf op geprojecteerd.
3. "AANGRENZEND"
Twee landen die in n punt elkaar raken noemen we niet aangrenzend. Dus de pizzapunten hiernaast zijn niet aangrenzend.  Landen grenzen pas aan elkaar als ze een stukje grens (lengte > 0) gemeenschappelijk hebben.
Dat is het probleem. Voor het eerst gesteld in 1852 door Francis Guthrie. Pas bewezen in 1976 door Appel en Haken
Zo'n 125 jaar was nodig voor zo'n eenvoudig probleempje......
Hier volgt in 7 stappen (en onvermijdelijk zijstappen) het boeiende verhaal van het vierkleurenprobleem: