De Ketens van Kempe
We zagen dat we vastliepen bij de vierhoek en de vijfhoek om te bewijzen dat KT niet bestaat.
In 1880 publiceerde Alfred Bray Kempe een artikel waarin hij die twee problemen oploste!
Daarmee was het vierkleurenprobleem opgelost!!!

Tenminste.....
Dat dacht de hele wiskundewereld 9 jaar lang.

Hier volgt een beschrijving van het bewijs van Kempe; het meest beruchte foute wiskundebewijs uit de geschiedenis.
1. De Vierhoek opgelost.
We zagen dat we vastliepen als we een vierhoek uit de KT weglaten, de rest kleuren en dan de vierhoek weer willen invoegen. Het zou dan namelijk kunnen dat alle vier de buren van de vierhoek een verschillende kleur hebben zodat er geen kleur meer over is voor de vierhoek zelf.
Stel dat de situatie rond de vierhoek op het moment van invoegen is als hiernaast.
Dan is de vierhoek (en dus de kaart) niet te kleuren.
Kempe vond een oplossing:
Hij koos twee kleuren rond de vierhoek die niet aangrenzend zijn. Bijvoorbeeld in de figuur hierboven geel en groen. Met deze twee landen maakte hij vervolgens een keten van alleen maar groene en gele landen die aan elkaar grenzen. Dat gaf een figuur als rechts hiernaast. Alle niet-gekleurde landen zijn blauw/rood, of toch geel/groen maar dan zijn ze niet via de groen-gele ketens te bereiken.

Nu zijn er twee mogelijkheden:

A. De twee gekleurde groen-gele ketens ontmoeten elkaar niet.

Dat is het simpelste geval. We kiezen in dat geval gewoon n van beide takken, en wisselen van die tak ALLE landen van kleur (groen wordt geel en geel wordt groen). Dat kan omdat de tak nergens aan een ander groen of geel land grenst, en ook bij de begin-vierhoek waren groen en geel niet-aanliggend.
Dat heeft als gevolg dat nu de probleemvierhoek nog maar door drie kleuren is omringd, dus is hij te kleuren met de vierde kleur.
Links hiernaast  is dat voor de bovenste tak gebeurd.
B. De groen-gele ketens komen wl bij elkaar.
Dan werkt dat wisselen niet, want dan wisselen beide landen die aan de probleemvierhoek grenzen van kleur en zijn er weer 4 kleuren.
Kempe's oplossing was eenvoudig: in dat geval schakelen we over naar de blauw-rode ketens!
Die kunnen niet k bij elkaar komen omdat f het blauwe f het rode land geheel ingesloten is door de geel-groene keten.
Dus voor de rood-blauwe ketens geldt in ieder geval situatie A, en door n van beiden te wisselen van kleuren is de vierhoek weer in te passen. KLAAR!
2.  De Vijfhoek opgelost
We hebben het dan over de probleemsituatie als hiernaast.
Kies weer twee verschillende kleuren die niet aangrenzend zijn. Ga weer ketens maken. Als die ketens elkaar niet ontmoeten (geval A) zijn we weer klaar: we wisselen de keten die begint bij de kleur waarvan er maar n aan de vijfhoek grenst.

We gaan meteen naar geval B: stel dat deze ketens elkaar wl ontmoeten. Stel bijvoorbeeld dat in de figuur hiernaast geel-blauw elkaar ontmoeten.
dan schakelen we over op geel rood.
We nemen maar meteen aan dat ook die elkaar ontmoeten want anders hebben we weer geval A en zijn we klaar. De situatie waarmee we te maken hebben is dus dat zowel geel-blauw als geel-rood elkaar ontmoeten:

 
De situatie is rechts schematisch weergegeven. De groen-blauwe takken zijn nu nooit met elkaar verbonden omdat de rood-gele lijn die verbinding blokkeert. Dus kunnen we die tak wisselen zodat het groene land ook blauw wordt.
"Ho wacht even: nou heb ik je", hoor ik je al denken, met in je achterhoofd het idee dat jij slimmer bent dan de hele wiskundewereld 9 jaar lang. Als we in plaats van groen-blauw nu groen-rood hadden gekozen dan gaf dat geen oplossing omdat dan bij  wisselen het rode punt groen zou worden, en daar schieten we niets mee op.  En het groene rood laten worden mg niet eens want het groene land grenst aan rood... Klopt dit wel? Is dit geen gezocht voorbeeld.

Nee, dit is niet de fout. Dat kiezen kan altijd. Dat kun je als volgt zien.

Laten we de kleuren 1,2,3,4,4 noemen (er is altijd n dubbele en die noemen we 4.
Laat de volgorde rond de cirkel 1,2,4,3,4 zijn. Dat is nog steeds het algemene geval, immers 1,2,3 kunnen we onderling hernummeren, en als de volgorde 1,4,2,3,4 is dan spiegelen we de figuur gewoon. Maak ketens van 1 naar 4 en van 1 naar 3 als hiernaast.
Dan is de keten van 2 naar 3 niet verbonden dus kunnen we bijvoorbeeld 2 wisselen naar 3.

WATERDICHT!

Kortom:  een KT heeft geen 2- 3- 4- en 5-hoek want dan is er een kleinere kaart niet te kleuren.
Maar elke kaart heeft een 2- 3- 4- of 5-hoek.
Dus KT bestaat niet.

Het 4-kleurenprobleem is OPGELOST!

tja....................................