Het "KLEINSTE TEGENVOORBEELD".
Ook dit is een belangrijk principe voor het vervolg van de oplossingen.
Stel dat NIET alle kaarten met 4 kleuren gekleurd kunnen worden.
Dan zijn er dus een aantal kaarten die niet te kleuren zijn met 4 kleuren.
We kiezen uit al die kaarten die niet te kleuren zijn degene met de minste landen. Die kaart noemen we het "KLEINSTE TEGENVOORBEELD" (engels: "Minimal Criminal", vanaf nu noem ik het KT)

Dan kunnen we over het KT het volgende opmerken:

1.  KT kan geen tweehoek bevatten.
Dat is z te zien:
1. Stel dat de kaart wl een tweehoek bevat.
2. Laat die tweehoek eerst weg.
3. Kleur de rest van de kaart met 4 kleuren. Dat kan altijd want als het niet kan dan hebben we een kleinere kaart gevonden die niet te kleuren is, dus was onze kaart geen KT.
4. Voeg de tweehoek weer toe en geef hem een kleur. Dat kan ook altijd want hij grenst maar aan twee landen dus er zijn nog twee kleuren over om te kiezen.
In een figuur ziet dat er  z uit:
2.  KT kan geen driehoek bevatten.
Het bewijs daarvan gaat op precies dezelfde manier als dat bij de tweehoek. In de laatste stap, als we de driehoek weer toevoegen, zijn er drie kleuren als buren al in gebruik, dus is er altijd een kleur te vinden (de vierde) om de driehoek te kleuren.
HET SCHIET AL LEKKER OP...
Als we nu kunnen bewijzen dat KT k geen vierhoek of vijfhoek kan bevatten dan hebben we bewezen dat KT niet bestaat!
Dat komt door de vijfburenstelling van eerder. Die zegt immers dat elke kaart een twee- drie- vier- of vijfhoek moet bevatten.
En als KT niet bestaat hebben we bewezen dat lke kaart met 4 kleuren is te kleuren.
MAAR HELAAS!
Helaas loopt bovenstaande methode vast bij de vierhoek, en wel bij de laatste stap.
Als we de vierhoek terugplaatsen zou het namelijk kunnen dat zijn 4 buren precies alle 4 de kleuren gebruiken, dus is de vierhoek niet terug te plaatsen. En bij de vijfhoek zijn er zelfs al vijf kleuren in gebruik, dus daar kunnen zomaar alle kleuren van de kaart bijzitten.
JAMMER!
We hebben met onze methode al wl het volgende slappe aftreksel bewezen:
Elke kaart is met 6 kleuren te kleuren