TWEE ZIJPADEN van TAIT
poging 1:  Driehoeksgrafen.
Zoals we al eerder bij het probleem van de vijf prinsen en de vijf paleizen zagen, kunnen we een kaart ook voorstellen door een graaf. De landen worden dan knooppunten en de grenzen worden verbindingslijnen. (dus een graaf van de relatie "heeft een grens met").

Peter Guthrie Tait probeerde deze aanpak.
Hij beweerde zelfs het vierkleurenprobleem te hebben opgelost, met de volgende methode:
Eerst veranderde hij de graaf in een graaf met alleen maar driehoeken. Dat deed hij door gewoon grenzen toe te voegen. Als je de driehoeksgraaf kon kleuren, dan kon je de oorspronkelijke ook kleuren, namelijk door gewoon na het kleuren de toegevoegde grenzen weer weg te laten:

Vervolgens ging Tait in de driehoeksgraaf punten toevoegen zodat rond elke driehoek 4 punten waren
Hij labelde die punten om-en-om A en B.
Daarna deed hij hetzelfde (punten toevoegen en labelen) ng een keer maar op een andere manier (geen enkel extra punt op dezelfde plaats als bij de eerste manier).
Tenslotte legde hij de twee zo gekregen kaarten over elkaar en liet de toegevoegde punten weer weg.
Elk knooppunt had nu een naam (AA,AB,BA of BB) die met een kleur kon corresponderen. 
Een erg creatieve oplossing.
Jammer dat hij niet echt kon bewijzen dat het punten toevoegen en labelen altijd mogelijk was....
poging 2:  Grenzen kleuren in plaats van Landen.
Een andere aanpak was het kleuren van de grenzen in plaats van de landen. Het is mogelijk een 1-op-1 relatie tussen beide systemen te maken. Dat kan bijvoorbeeld als volgt:
kleuren van de twee landen kleur van de grens ertussen
rood - groen rood
geel - blauw rood
geel - rood groen
groen - blauw groen
rood - blauw blauw
geel  -groen blauw


Op deze manier hoort bij elke gekleurde kaart precies n manier om de grenzen te kleuren, en bij elke grenzenkleuring precies n manier om de kaart te kleuren.
Het vierkleurenprobleem was nu geworden: "Kun je van elke kaart de grenzen met drie kleuren kleuren?"

Dat grenzen kleuren gaf nog wel wat problemen, die te maken hadden met de situatie als hiernaast. De rode lijn in deze figuur lijkt een grens maar is het niet omdat hij niet twee verschillende landen scheidt. Om dat soort vervelende problemen te voorkomen ging men toch maar weer terug met de projectiemethode naar kaarten op bollen of veelvlakken. (veelvlakken met bij elk hoekpunt 3 vlakken,zoals kubus, twaalfvlak en afgeknot achtvlak))
Een erg interessante vraag bleek de volgende:
Kun je op een veelvlak een gesloten circuit volgen waarbij je elk hoekpunt precies n keer aandoet?
Waarom was dat zo'n interessante vraag?
Nou, als je zo'n circuit kunt vinden dan kleur je daarvan de grenzen om-en-om rood en groen.
Na afloop kleur je alle overgebleven grenzen blauw, en je hebt de grenzen van de kaart met drie kleuren gekleurd. Met kubus, twaalfvlak en afgeknot achtvlak bestaat zo'n circuit inderdaad, kijk maar:
Maar ja hoor; ook hier was er weer iemand om roet in het eten te gooien! Thomas Kirkman vond in 1855 een veelvlak waarvoor geen gesloten circuit bestond. Het was een bijencel (zeszijdig prisma) waarvan hij drie stukken afsneed.
De kaart die erbij hoort staat hiernaast.

Kirkman bewees dat op deze kaart geen gesloten circuit mogelijk was.
Dat deed hij door de knooppunten om en om zwart en geel te kleuren.
Omdat een circuit afwisselend zwarte en gele knooppunten passeert, zullen er voor een gesloten circuit evenveel zwarte als gele punten moeten zijn, en dat is niet zo: er zijn 7 zwarte en 6 gele.
Daarom is een gesloten circuit onmogelijk.
Poging 2 mislukt!