Op weg naar het einde...
Voor het uiteindelijke bewijs zijn twee begrippen essentieel. Het eerste is "Onvermijdelijke Verzameling" ('unavoidable set') het tweede "Verkleinbare Kaart" ('reducible configuration').
Wat houdt het in?
1.  Onvermijdelijke Verzameling
Eerder zagen we al dat een kaart altijd minstens n land heeft dat vijf of minder buren heeft ("vijfburenstelling").
Dat betekent dat van de volgende verzameling er altijd minstens ntje op een kaart aanwezig is:
We zagen al dat Kempe probeerde aan te tonen dat deze vijf vormen allemaal te verkleinen zijn. Als dat hem lukte had hij immers bewezen dat er geen "Kleinste Tegenvoorbeeld"' bestaat, dus dat elke kaart met 4 kleuren te kleuren is. Helaas faalden zijn pogingen bij de vijfhoek.
De conclusie voorlopig was dat elk kleinste tegenvoorbeeld minstens n vijfhoek bevat. Maar bij de telstelling concludeerden we al dat de kaart dan minstens 12 vijfhoeken bevat.  Dus een kaart met exact 12 landen moet uit 12 vijfhoeken bestaan. Dat is het twaalfvlak, maar we zagen ook al dat die wl te kleuren is. Conclusie: een kleinste tegenvoorbeeld bevat minstens 13 landen. 

Omdat de vijfhoek vastliep ging men proberen de vijfhoek te vervangen door een een andere vorm. Zo ontdekte men bijvoorbeeld dat ook de volgende verzameling een  onvermijdelijke verzameling is:

De vijfhoek is te vervangen door twee nieuwe figuren; twee vijfhoeken naast elkaar en een vijfhoek naast een zeshoek. Misschien valt van deze twee nieuwe figuren wl te bewijzen dat ze te verkleinen zijn.....
En als dat niet lukt gaan we de verzameling nog verder uitbreiden, misschien dat het dn wel lukt...

Hoe produceer je zulke onvermijdelijke verzamelingen?

Dat kan met de methode van ONTLADING. 
We zullen het met de verzameling hierboven demonstreren.
Stel dat er een kaart bestaat die geen van de vijf basisvormen hierboven bevat.
Dan kan een vijfhoek van de kaart dus niet grenzen aan een tweehoek, driehoek of vierhoek (want die zijn er niet) maar ook niet aan een andere vijfhoek of aan een zeshoek (vanwege de laatste twee figuren). Dus elke vijfhoek grenst alleen maar aan landen met minstens 7 grenzen. 
Geef nu elk land een elektrische lading.
Een vijfhoek krijgt lading +1, een zeshoek lading 0, een zevenhoek lading -1, een achthoek lading -2 enz.
Als de kaart L5 vijfhoeken en L6 zeshoeken en L7 zevenhoeken... heeft, dan geldt voor de totale lading T van de kaart:

T = 1 L5 + 0 L6 - 1 L7 - 2 L8 - ...  =  L5 - L7 - 2L8 - 3L9 - .....

De telstelling zegt:  2L2 + 3L3 + 2L4 + L5 - L7 - 2L8 - 3L9 - ... = 12  en omdat L2 = L3 = L4 = 0 geeft dat  L5 - L7 - 2L8 - ... = 12
Als we dat vergelijken met de formule hierboven concluderen we dat de totale lading van de kaart 12 is.
We gaan nu de lading herverdelen over de kaart. Als we alle lading in de vijfhoeken herverdelen over zijn buren dan krijgt elke buur er 1/5 bij. Dat zou er z uit kunnen zien:

Elke vijfhoek heeft na dit ontladen dus lading nul. Verder heeft elke zeshoek k lading nul (immers die grensde niet aan een vijfhoek)
Hoe is het met de zevenhoeken? Die had lading -1 en moet dus, om lading positief te krijgen van minstens 6 omringende vijfhoeken lading ontvangen. Maar dat kan niet, want dan zouden minstens 2 van die 6 vijfhoeken aan elkaar grenzen, en dat mocht niet! De conclusie is dat elke zevenhoek na afloop  negatieve lading heeft.

Een achthoek zou zelfs van 11 aangrenzende vijfhoeken lading moeten krijgen!
Dat kan duidelijk niet. En op dezelfde manier zie je dat negenhoeken en hoger ook nooit positieve lading kunnen krijgen. De conclusie is dat na ontladen elk land lading nul of minder heeft. Maar toch moet de totale lading 12 zijn gebleven! Dat is onmogelijk, dus de oorspronkelijke aanname (dat een vijfhoek niet aan een zeshoek of andere vijfhoek kan grenzen) niet juist.
Men ging dus op jacht naar onvermijdelijke verzamelingen. Die werden groter en groter. In 1920 was men bij de  volgende verzameling:
In de loop van de twintigste eeuw werden onvermijdelijke verzamelingen van duizenden figuren gemaakt. Het werd steeds meer werk om te onderzoeken of ze allemaal wel of niet te verkleinen waren, vooral ook omdat verschillende vormen vaak verschillende manieren van ontladen vereisten.
2. Verkleinbare Kaart
Zoals we al eerder zagen is een Verkleinbare Kaart een kaart die je niet kunt kleuren met 4 kleuren, maar waarvoor je kunt aantonen dat je een kleiner deel van die kaart dan k niet met 4 kleuren kunt kleuren. De aanpak was eigenlijk zoals Kempe het al deed.
Maar in 1913 kwam daar verandering in door een publicatie van George David Birkhoff.
Birkhoff keek niet naar aparte landen, maar beschouwde een RING van landen in een kaart.
Hiernaast staat zo'n ring van drie landen.
Als deze kaart een Kleinste Tegenvoorbeeld is, dan is het gebied van ring + binnenste dus te kleuren. Hetzelfde geldt voor het gebied van ring + buitenste. Maar dan kunnen we die beide kleuringen gewoon samenvoegen (eventueel door sommige kleuren een andere naam te geven) om de hele kaart te kleuren.
Conclusie:  een kaart met een ring van drie landen is verkleinbaar, dus in een Kleinste Tegenvoorbeeld kan niet zo'n ring van 3 landen voorkomen.

Wat Kempe land voor land deed gebeurt nu eigenlijk met groepen van landen tegelijk.

Voor een ring van 4 landen is het al wat moeilijker want die kan gekleurd zijn met 2, 3 of 4 kleuren en het is niet duidelijk of de kleuringen van binnen- en buitengebied kloppend gemaakt kunnen worden op de ring.  Het volgende geval is bijvoorbeeld niet kloppend te krijgen:

Maar Birkhoff slaagde erin kleuren te wisselen (jawel via Kempe Ketens!) zodat de kleuringen toch dekkend te krijgen waren. Ook de ring van 5 wist hij in bijna alle gevallen kloppend te krijgen. Bijna? Ja, de enkele vijfhoek omringd door een ring van vijf landen lukte niet. Hetzelfde geval waarop Kempe was vastgelopen!
Het geval van een ring van zes was nog lastiger... Dat werd pas 30 jaar later opgelost!
Ook een moeilijk geval bleek  "The Birkhoff Diamond". Een analyse daarvan is kenmerkend voor de methodes die nodig waren en de hoeveelheid mogelijkheden die onderzocht moesten worden. Het staat HIER.
En zo ging het de twintigste eeuw door. Men werkte van twee kanten aan het probleem. Van de ene kant vond men meer en meer (en steeds grotere) onvermijdelijke verzameling. Van de andere kant slaagde men er langzaam in van steeds meer figuren te bewijzen dat ze te verkleinen waren. 
De jacht was geopend! 
De jacht die beide kanten van het onderzoek zou doen samenkomen. 
De jacht naar:

Een onvermijdelijke verzameling 
van alleen maar verkleinbare figuren

Immers als die bestaat dan bestaat er kennelijk gn Kleinste Tegenvoorbeeld, dus is elke kaart met 4 kleuren te kleuren.