De Kaart van Haewood
In 1889 kwam helaas Haewood met een voorbeeld waaruit bleek dat het "bewijs"van Kempe niet klopte. Het zat hem in de redenering rondom de vijfhoek.
De kaart die Haewood gebruikte lijkt ongeveer op die hiernaast.
Laten we de methode van de ketens van Kempe maar gewoon gaan toepassen, dan zien we vanzelf waar de boel vastloopt.

We zien bijvoorbeeld dat  blauw-geel langs de onderklant met elkaar verbonden is. En ook blauw-groen langs de bovenkant. Rood is nergens mee verbonden. De situatie is als volgt:

Maar verhip! Wat krijgen we nou?
De banen blauw-geel en blauw-groen kunnen elkaar natuurlijk wl doorkruisen, in een BLAUW land!
We kunnen  rood-geel onderlangs wisselen (gescheiden door de blauw-groene boog) en we kunnen ook rood-groen  wisselen(gescheiden door de blauw-gele boog). De stippellijnen geven de mogelijke wisselingen aan.
Maar we kunnen niet BEIDEN wisselen! Dan komen er twee rode landen naast elkaar te liggen! Dat had Kempe niet gezien!

Ook in de figuur hiernaast kan dat niet.
Helaas... Het bewijs van Kempe was fout!
En de fout was ook niet zomaar te repareren.

Maar laten we het positieve van het werk van Kempe nemen: het bewijs met de vierhoek van Kempe klopt wl, en zijn methode van de ketens kan gebruikt worden om de vijfhoek te bekijken. Stel dat we een kaart met VIJF kleuren willen kleuren. 
We kunnen dan bij de vijfhoek wel twee niet-aanliggende verschillende kleuren nemen, ketens maken en kijken of die elkaar ontmoeten. Als dat niet zo is wisselen we, als het wl zo is zijn er in ieder geval twee andere kleuren waarvan de ketens elkaar niet ontmoeten. Die kunnen we dan wisselen, zodat er rond de vijfhoek nog maar vier kleuren aanwezig zijn, en de vijfde kleur voor de vijfhoek zlf beschikbaar is.  Conclusie: 
 
Elke kaart is met 5 kleuren in te kleuren.
Nog maar n kleurtje weg te werken....