De denkfout van Mbius.
Soms wordt beweerd dat het vierkleurenprobleem al dateert van rond 1840 toen de Duitse wiskundige Ferdinand Mbius een lezing hield waarin hij het "Probleem van de vijf prinsen" noemde. Dat probleem luidt als volgt:
Er leefde eens in India een koning die vijf zonen had.
De koning zei dat na zijn dood de zonen het koninkrijk onder elkaar mochten verdelen, maar alleen z dat het gebied van elke zoon zou grenzen aan dat van alle andere zonen.
Hoe moesten ze dat aanpakken?

Hier wordt een voorbeeld gevraagd wordt van een kaart waarvoor vijf kleuren nodig zijn. 
Dat dat onmogelijk is, is eenvoudig te zien.
Stel dat de gebieden van de eerste drie zonen A, B en C zijn.
Dan zijn er voor het gebied van zoon D twee mogelijkheden: Het ligt helemaal binnen de oppervlakte ABC of helemaal erbuiten:

Maar nu is er in beide gevallen voor het laatste gebied geen mogelijkheid meer.
Misschien is het nog duidelijker te zien als je het probleem in een ander jasje hijst: het probleem van de vijf paleizen:
De koning eist verder nog dat elk van zijn zonen een paleis op zijn eigen gebied bouwt, en dat alle vijf de paleizen met elkaar verbonden zullen worden door een weg zonder dat al die wegen elkaar mogen kruisen.

Stel weer dat de eerste drie paleizen A,B en C heten, dan zijn die dus als een driehoek verbonden. Paleis D kan f binnen deze driehoek liggen f erbuiten. Maar in beide gevallen is paleis E niet te bouwen (in het eerste geval is D niet te bereiken, in het tweede geval n van de andere drie niet; in het voorbeeld hieronder C).

Dat deze twee problemen exact gelijk zijn zie je als je de figuren over elkaar heen legt. Lees als paleis "land" en als weg "grens" en klaar! Kijk maar hiernaast.

We hebben nu wel laten zien dat het verdelen van het land onder de vijf prinsen onmogelijk is, maar toch is daarmee het vierkleurenprobleem niet opgelost!  Wie dat denkt maakt een denkfout!

HOE ZIT DAT?

Het ziet hem in de logica!
Stel  P = "er bestaat een kaart met 5 elkaar rakende gebieden"  en  Q = "elke kaart kan met 4 kleuren gekleurd worden"

De conclusie die we uit het bovenstaande kunnen trekken is:
BEWERING 1
"ALS er geen kaart met vijf elkaar rakende gebieden bestaat DAN kan elke kaart met 4 kleuren worden gekleurd"
ofwel:  P Q

betekent "niet".
Terwijl het vierkleurenprobleem stelt:

BEWERING 2
"ALS er een kaart met vijf elkaar rakende gebieden bestaat DAN kan niet elke kaart met 4 kleuren worden gekleurd".
dat is logisch genoteerd  P Q

Dat mogen we omdraaien en "niet"  ervoor zetten.
Dan vinden we  Q   P :

BEWERING 3
"ALS elke kaart met 4 kleuren kan worden gekleurd, DAN bestaat er geen kaart met vijf elkaar rakende gebieden"

En dat is een andere bewering dan bewering 1 hierboven.  P Q  is niet gelijk aan Q P.