Twee belangrijke stellingen.
De regel van Euler voor kaarten in een vlak leverde ons op
L + K = G + 2

Daarbij is L = aantal landen, K = aantal knooppunten en G = aantal grenzen. Het buitengebied van de kaart geldt ook als een land, dus elke kaart is oneindig groot.
Met deze regel gaan we twee belangrijke stellingen afleiden die eigenlijk in elke oplossing voor het vierkleurenprobleem terug te vinden zijn.

De eerste stelling is:
Elke kaart heeft minstens n land met vijf of minder buren.

Het bewijs gaat als volgt.

1. Bij elk knooppunt komen minstens drie grenzen samen (knooppunten met twee grenzen bestaan uit een lijn met een stip erin en die kunnen we net zo goed weglaten).
Dus er zijn 3K grenzen, maar omdat dan elke grens dubbel is geteld levert dat  3/2K grenzen.
Ofwel:  G 3/2  K 2/3G
2. Stel dat er geen land met vijf of minder buren is, dan heeft elk land dus 6 of meer buren.
Met elke buur heeft zo'n land een grens, dus dan zijn er minstens 6L grenzen.
Omdat weer alle grenzen dubbel zijn geteld geldt  G 6/2  G 3L  ofwel  L 1/3G
3. Euler's formule geeft dan  L + K - G = 2
Invullen levert  1/3G + 2/3G - G 2  en dat geeft 0 2
Dat is natuurlijk flauwekul, dus kan aanname 2. niet waar zijn.

Deze stelling zullen we voortaan de "vijfburenstelling" noemen.

De tweede stelling heet de "telstelling".
Stel Li het aantal landen met i grenzen is.
Dan is  L = L2 + L3 + L4... (een land met n grens bestaat misschien wel, maar kunnen we wat kleuren betreft net zo goed weglaten)
Voor het aantal grenzen G  geldt dan  2L2 + 3L3 + 4L4 + .... = 2G  (de factor 2 omdat elke grens weer dubbel is geteld)
Dus  G = L2 + 11/2L3 + 2L4 + ...
Omdat bij elk knooppunt 3 grenzen bij elkaar komen (zoals we in een eerdere vereenvoudiging al zagen), geldt:
2L2 + 3L3 + 4L4 = 3K  want beide kanten geven het totaal aantal grenzen aan.
daaruit volgt:  K = 2/3L2 + L3 + 4/3L4 + .....

Je raadt het al: nu gewoon alles invullen in de formule van Euler:
L + K - G = 2    (L2 + L3 + L4...) + (2/3L2 + L3 + 4/3L4 + .....)  -  (L2 + 11/2L3 + 2L4 + ...) = 2
herrangschikken en met 6 vermenigvuldigen:

4L2 + 3L3 + 2L4 + L5 - L7 - 2L8 - 3L9 - ... = 12
En dat is de telstelling.
Als kleine toepassing zie je bijvoorbeeld al dat een kaart met alleen vijfhoeken of hoger minstens 12 vijfhoeken moet hebben. (als L2 = L3 = L4 = 0 moet L5 minstens 12 zijn). Dat heeft bijvoorbeeld weer als gevolg dat een veelvlak met alleen vijfhoeken en zeshoeken precies 12 vijfhoeken zal hebben. Dat is inderdaad zo, kijk maar naar het regelmatige twaalfvlak en de beroemde Buckeyball: beiden bestaan uit exact 12 vijfhoeken. En het afgeknotte achtvlak, dat bestaat uit vierkant en zeshoeken zal natuurlijk precies 6 vierkant moeten hebben (2L4 = 12). Dat zie je in de derde figuur hieronder.
twaalfvlak voetbal afgeknot achtvlak
't Is mooi dat dat tenminste allemaal klopt...