Raaklijnen aan een cirkel.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Een raaklijn aan een cirkel heeft een paar eenvoudige eigenschappen die het elk mogelijk maken een vergelijking ervan op te stellen. Dat zijn:

•  De raaklijn heeft precies één punt met de cirkel gemeenschappelijk.

•  De raaklijn staat loodrecht op de lijn naar het middelpunt.

•  De helling van de raaklijn is gelijk aan de helling van de cirkel.

 
Laten we bekijken hoe elk van deze eigenschappen het opstellen van de vergelijking van een raaklijn mogelijk maken.
   
Methode 1:  de Discriminantmethode.
   
De redenering is heel eenvoudig: 
 

"Als een raaklijn precies één punt met een cirkel gemeenschappelijk heeft,
dan vind je dus precies één oplossing als je dat punt gaat berekenen".

 

Dat "precies-één-oplossing-hebben"  komt er steeds op neer dat de discriminant van de kwadratische vergelijking die je krijgt bij het snijden van een rechte lijn met de cirkel, nul moet zijn.

Voorbeeld 1.
Een lijn met r.c. -0,5  raakt de cirkel met vergelijking  (x - 1)2 + y2 = 20.  Bereken de coördinaten van het raakpunt.

Een lijn met r.c. -0,5 heeft algemene formule  y = -0,5x + b
Snijden met de cirkel:   (x - 1)2 + (-0,5x + b)2 = 20
x2 - 2x + 1 + 0,25x2 - xb + b2 = 20
1,25x2 + x(-b - 2) + (b2 - 19) = 0
Dat heeft één oplossing als de discriminant nul is:   (-b - 2)2 - 5(b2 - 19) = 0
 b2 + 4b + 4 - 5b2 + 95 = 0   ⇒  -4b2 + 4b + 99 = 0   ⇒  b = -4,5  ∨  b = 5,5
b = -4,5 geeft  1,25x2 + 2,5x + 1,25 = 0   x = -1  en het raakpunt  (-1, -4).
b = 5,5  geeft   1,25x2 - 7,5x + 11,25 = 0   x = 3  en het raakpunt  (3, 4).

   
Methode 2:  De loodrechte stand.
   
Omdat je weet dat de lijn van het middelpunt van de cirkel naar het raakpunt loodrecht op de raaklijn staat, kun je de helling van de één bepalen als je de helling van de ander weet.
Immers er geldt:
 
Als twee lijnen loodrecht op elkaar staan geldt voor hun hellingen:    a1a2 = -1
 

Voorbeeld 2.
Geef de vergelijking van de raaklijn aan de cirkel   x2 + (y - 3)2 = 13  in het punt  (2, 6).

Het middelpunt is  M = (0, 3) en het raakpunt is  R = (2,6)
MR heeft dan helling  (6 - 3)/(2 - 0) = 1,5
Dus heeft de raaklijn helling  -1/1,5 = -2/3
y = -2/3x + b geeft met  (2,6):   6 = -2/3 • 2 + b  ⇒  b = 71/3.
De raaklijn is daarom de lijn y = -2/3x + 71/3

Voorbeeld 3.
Een lijn met helling 3/7 raakt de cirkel  (x - 1)2 + (y + 2)2 = 58. Geef de coördinaten van het raakpunt.

Als de raaklijn helling 3/7 heeft, dan heeft de lijn MR helling  -7/3
Die lijn gaat door M (1, -2)  dus   -2 = -7/3 • 1 + b   b = 1/3  dus  MR is de lijn  y = -7/3x + 1/3
Snijden met de cirkel:  (x - 1)2 + (-7/3x + 21/3)2 = 58
x2 - 2x + 1 + 49/9x2  - 98/9x + 49/9 = 58
64/9x2 -128/9x -515/9 = 0   ⇒ 58x2 - 116x - 464 = 0   ⇒ x = -2  ∨  x = 4
Dat geeft de mogelijke raakpunten  (-2, 5)  of  (4, -9).

   
Methode 3:  Door te differentiëren.
   
Om de helling van een cirkel te vinden moet je eerst leren om impliciet te differentiëren.  Hoe dat moet staat in deze les.
Als je dat eenmaal kan, is het makkelijk om een raaklijn op te stellen. Het gaat eigenlijk precies zoals bij een raaklijn aan de grafiek van een functie, en dat was zo:
• stel de raaklijn y = ax + b.
• vind de helling a door te differentiëren.
• vind de b door het raakpunt in te vullen.

Voorbeeld 4.
Geef een vergelijking van de raaklijn aan de cirkel  x2 + (y - 4)2 = 13  in het punt  (-2, 7).

Differentiëren:   2x + 2(y - 4) • y'  = 0   dus  y' = -x/(y - 4)
In het punt  (-2,7) is dan  y' = 2/(7 - 4) = 2/3
y = 2/3x + b geeft met  punt (-2,7) dat  7 = 2/3 • -2 + b   b = 81/3
De raaklijn is dus de lijn  y = 2/3x +  81/3

Voorbeeld 5.
Een lijn met helling -2  raakt de cirkel  x2 + y2 = 45.  Bereken de coördinaten van het raakpunt.

De afgeleide:  2x + 2y • y' = 0   y' = -x/y = -2  dus  x = 2y
Substitueren in de vergelijking:   (2y)2 + y2 = 45  5y2 = 45   y2 = 9 ⇒  y = 3  ∨  y = -3
Dat geeft met x = 2y de mogelijke raakpunten   (6,3) en  (-6,3)

   
Methode 4:  Met poollijnen
Er is nog een veel mooiere manier om raaklijnen aan een cirkel op te stellen en die werkt met behulp van zogenaamde poollijnen. Die methode wordt uitgebreid behandeld in
deze les.
   
   
1. Een lijn met helling -1 raakt de cirkel x2 + y2 - 6y + 1 = 0.  Geef een vergelijking van die lijn en de coördinaten van het raakpunt.
       

y = 7 - x  en  (2,5)

         
2. Geef een vergelijking van de raaklijn aan de cirkel  x2 - 2x  + y2 - 4y  = 36  in het punt  (5,7).
       

y = -0,8x  +11

         
3. Geef een vergelijking van de raaklijn aan de cirkel  x2 + y2 - 8y + 8 = 0  in het punt  (-2, 2).
       

y = -x

         
4. Er is nog een andere manier om een raaklijn op te stellen, en die gaat met de formule voor de afstand van een punt tot een lijn. Daarvoor heb je in deze les de volgende formule gevonden voor de afstand van punt P tot lijn l:
         
 

         
  Stel nu dat je de vergelijking van de raaklijn in het punt  (2, 3)  aan de cirkel x2 + y2 + 2x - 3y = 8 wilt berekenen.
Dan kan dat in de volgende drie stappen:
   
  a. Toon aan dat een willekeurige lijn door punt (2,3) te schrijven is als y = ax + 3 - 2a
         
  b. Bereken de coördinaten van het middelpunt van de cirkel, en bereken de straal van de cirkel.
       

M(-1, 11/2), r = 11,25

  c. Stel met de formule de afstand van M tot de lijn door (2,3) gelijk aan de straal van de cirkel.
Bereken daaruit de vergelijking van de raaklijn in (2,3).
       

y = 7 - 2x

         
5. Als de lijn ax + b de cirkel x2 + y2 = r2 raakt, dan geldt  dat  b2 = r2 + a2r2
Toon dat aan.
         
   
Raaklijnen vanaf een punt buiten de cirkel.  
   
Kijk eens naar het plaatje hiernaast. Daarin zie je dat er vanaf een punt P buiten een cirkel twee raaklijnen aan die cirkel te tekenen zijn.

Hoe zijn die te vinden?

Omdat de raaklijnen loodrecht staan op de lijnen MR, zijn de driehoeken PMR1 en PMR2 hiernaast rechthoekig.
Maar als je dan de lengte van PM weet en ook MR1 (de straal van de cirkel),  dan kun je met Pythagoras PR1 berekenen.

Omdat PR1 = PR2 liggen beide punten R op een cirkel met middelpunt P en straal PR1.
Nou, simpel:  stel een vergelijking van die tweede cirkel op, en bereken de snijpunten daarvan met de eerste cirkel.
samengevat:  
1.  Bereken PR met Pythagoras.
2.  Snij de cirkel met middelpunt P en straal PR met de gegeven cirkel.
   
Voorbeeld 6.
Twee rechte lijnen door het punt  (0,9) raken de cirkel  x2 + 2x + y2 - 4y = 5. Geef de coördinaten van de raakpunten.

Kwadraat afsplitsen:  (x + 1)2 + (y - 2)2  = 10 dus  M = (-1, 2) en  r = √10
PM = √(12 + 72) = Ö50
Pythagoras:  PR = √(50 - 10) = √40
Cirkel door P met straal √40:   x2 + (y - 9)2 = 40 ⇒  x2 + y2 - 18y = -41
Snijden van beide cirkels: trek de vergelijkingen van elkaar af, dat geeft:  2x + 14y = 46
dus  x = 23 - 7y
Invullen in een cirkel:  (23 - 7y)2 + y2 - 18y = -41
529 -  322y + 49y2 + y2 - 18y = -41
50y2 - 340y + 570 = 0
y = 3  ∨  y = 3,8 en dat geeft de raakpunten  (2, 3)  en  (-3.6, 3.8).
   
(overigens zijn ook deze lijnen eenvoudig te vinden door gebruik te maken van poollijnen)
   
6. Er zijn twee lijnen door het punt P(9, 2) die de cirkel  x2 + y2 - 4x  - 2y = 20 raken
Geef vergelijkingen van die lijnen.
     

y = -3/4x + 83/4
y = 4/3x - 10

       
7. Er zijn twee lijnen door het punt P(8, 3) die de cirkel  x2 + y2 - 4x - 2y = 15 raken
Geef vergelijkingen van die lijnen.
     

y = -1/2x + 7
y = 2x - 13

       
8. Een lijn door  P(-1,51/2) raakt de cirkel  x2 + 4x + y2 = 21.  Bereken de coördinaten van het raakpunt.
     

(-3.4,4.8)  en  (1,4)

       
9. Je kunt ook de methode van vraag 4) hierboven gebruiken om raaklijnen op te stellen.
Gebruik die methode om de raaklijnen aan de cirkel x2 + y 2 + 2y = 12  die door het punt  (-1,4) gaan op te stellen.
     

y = -2/3x + 31/3
y = 11/2x + 51/
2

       
10. Als je twee cirkels hebt zoals in de figuur hiernaast, dan is er een punt P te vinden van waaruit er twee lijnen te tekenen zijn die beide cirkels raken.

     
  a. Toon aan dat P op de verbindingslijn van M1M2 moet liggen
     
  Als de stralen van de cirkels gelijk zijn aan r1 en  r2 dan geldt dat 
PM1 : PM2 = r1 : r2
     
  b. Toon dat aan.
       
  c. Gebruik deze eigenschap om bij de cirkels  x2+ y2 - 14x - 6y + 38 = 0  en  x2 + y2 + 16x - 6y - 7 = 0  zo'n punt P (dat tussen de middelpunten ligt) te vinden, en laat zien dat er inderdaad twee zulke raaklijnen te vinden zijn.
     

P = (0.2, 1.6)

       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)