|
|||||
| 1. | methode 1. | ||||
| de lijn heeft
vergelijking y = -x + b invullen in de cirkel: x2 + (-x + b)2 - 6 (-x + b) + 1 = 0 x2 + x2 - 2xb + b2 + 6x - 6b + 1 = 0 2x2 + x(6 - 2b) + (b2 - 6b + 1) = 0 discriminant nul: (6 - 2b)2 - 8(b2 - 6b + 1) = 0 36 - 24b + 4b2 - 8b2 + 48b - 8 = 0 -4b2 + 24b + 28 = 0 b2 - 6b - 7 = 0 (b - 7)(b + 1) = 0 b = 7 ∨ b = -1 De lijn is dus y = -x + 7 of y = -x - 1 b = 7 geeft 2x2 - 8x + 8 = 0 ⇒ (x - 2)2 = 0 ⇒ x = 2 en raakpunt (2, 5) b = -1 geeft 2x2 + 8x + 8 = 0 ⇒ (x + 2)2 = 0 ⇒ x = -2 en raakpunt (-2, 1) |
|||||
| methode 2. | |||||
| x2
+ y2 - 6y + 1 = 0 x2 + y2 - 6y + 9 - 9 + 1 = 0 x2 + (y - 3)2 = 8 Het middelpunt is (0, 3) Een lijn loodrecht op rc -1 heeft rc 1 Lijn door M met rc 1: y = x + 3 snijden met de cirkel: x2 + (x + 3)2 - 6(x + 3) + 1 = 0 x2 + x2 + 6x + 9 - 6x - 18 + 1 = 0 2x2 - 8 = 0 x2 = 4 x = 2 ∨ x = -2 Dat geeft de raakpunten (2, 5) en (-2, 1) Dat geeft de raaklijnen y = -x + 7 en y = -x - 1 |
|||||
| methode 3. | |||||
| De afgeleide is -1 2x + 2y • y' - 6y' = 0 y'(2y - 6) = -2x y '= -2x/(2y - 6) = -1 2x = 2y - 6 x = y - 3 en nu gaat het verder als in methode 2. |
|||||
| 2. | x2 - 2x + y2
- 4y = 36 x2 - 2x + 1 - 1 + y2 - 4y + 4 - 4 = 36 (x - 1)2 + (y - 2)2 = 41 middelpunt is M = (1, 2) MR gaat door (1,2) en (5, 7) a = (7 - 2)/(5 - 1) = 5/4 De raaklijn staat daar loodrecht op, dus heeft helling -4/5 en gaat door (5,7) 7 = -4/5 • 5 + b geeft b = 11 en de raaklijn is dan y = -4/5x + 11 |
||||
| 3. | x2 + y2
- 8y + 8 = 0 x2 + y2 - 8y + 16 - 16 + 8 = 0 x2 + (y - 4)2 = 8 middelpunt is M(0, 4) MR gaat door (0, 4) en (-2, 2) a = (4 - 2)/(0 --2) = 1 De raaklijn staat daar loodrecht op en heeft helling -1 en gaat door (-2, 2) 2 = -1 • -2 + b geeft b = 0 en de raaklijn is dan y = -x |
||||
| 4. | a | Een rechte lijn is in
het algemeen y = ax + b (2, 3) invullen: 3 = 2a + b dus b = 3 - 2a Dan is de vergelijking y = ax + 3 - 2a |
|||
| b. | x2
+ y2 + 2x - 3y = 8 x2 + 2x + 1 - 1 + y2 - 3y + 21/4 - 21/4 = 8 (x + 1)2 + (y - 11/2)2 = 111/4 M = (-1, 11/2) en r = √111/4 |
||||
| c. | l is de lijn ax - y = 2a - 3 | ||||
 |
|||||
| (3a - 11/2)
= √(111/4)
• √(a2 + 1) 9a2 - 9a + 21/4 = 111/4 • (a2 + 1) 9a2 - 9a + 21/4 = 111/4a2 + 111/4 -21/4a2 - 9a - 9 = 0 a2 + 4a + 4 = 0 (a + 2)2 = 0 a = -2 Dan is de raaklijn de lijn y = -2x + 3 + 4 ofwel y = -2x + 7 |
|||||
| 5. | De vergelijking van
de lijn invullen in de cirkel; x2 + (ax
+ b)2 = r2 x2 + a2x2 + 2abx + b2 - r2 = 0 x2(1 + a2) + 2abx + b2 - r2 = 0 De discriminant is nul als (2ab)2 - 4(1 + a2)(b2 - r2) = 0 4a2b2 = 4(b2 - r2 + a2b2 - a2r2) a2b2 = b2 - r2 + a2b2 - a2r2 b2 = r2 + a2r2 |
||||
| 6. | x2 + y2 - 4x
- 2y = 20 x2 - 4x + 4 - 4 + y2 - 2y + 1 - 1 = 20 (x - 2)2 + (y - 1)2 = 25 M = (2, 1) en r = 5 P = (9, 2) dus MP = √(72 + 12) = √50 Als R het raakpunt is, dan geldt: 52 + RP2 = 50 RP2 = 25 dus RP = 5 cirkel door P met straal 5: (x - 9)2 + (y - 2)2 = 25 x2 - 18x + y2 - 4y = -60 cirkels snijden; trek de vergelijkingen van elkaar af: 14x + 2y = 80 ⇒ y = 40 - 7x invullen in een cirkel: x2 + (40 - 7x)2 - 4x - 2(40 - 7x) = 20 x2 + 1600 - 560x + 49x2 - 4x - 80 + 14x - 20 = 0 50x2 - 550x + 1500 = 0 x2 - 11x + 30 = 0 (x - 5)(x - 6) = 0 x = 5 ∨ x = 6 Dat geeft de raakpunten (5, 5) en (6, -2) raaklijn door (5, 5) en (9, 2) : helling (2 - 5)/(9 - 5) = -3/4 5 = -3/4 • 5 + b geeft b = 83/4 en de raaklijn y = -3/4x + 83/4. raaklijn door (6, -2) en (9,2): helling (2 - -2)/(9 - 6) = 11/3 -2 = 11/3 • 6 + b geeft b = -10 en de raaklijn y = 11/3x - 10 |
||||
| 7. | x2 + y2
- 4x - 2y = 15 x2 - 4x + 4 - 4 + y2 - 2y + 1 - 1 = 15 (x - 2)2 + (y - 1)2 = 20 M = (2, 1) en r = √20 P = (8, 3) dus MP = √(62 + 22) = √40 Als R het raakpunt is, dan geldt: 20 + RP2 = 40 ⇒ RP = √20 Cirkel door (8, 3) met straal √20: (x - 8)2 + (y - 3)2 = 20 x2 - 16x + y2 - 6y = -53 cirkels snijden; trek de vergelijkingen van elkaar af: 12x + 4y = 68 Þ y = 17 - 3x invullen in een cirkel: x2 + (17 - 3x)2 - 4x - 2(17 - 3x) = 15 x2 + 289 - 102x + 9x2 - 4x - 34 + 6x = 15 10x2 - 100x + 240 = 0 x = (100 ±√(10000 - 9600))/20 x = 6 ∨ x = 4 Dat geeft de raakpunten (6, -1) en (4, 5) Lijn door (6, -1) en (8, 3 ) is y = 2x - 13 Lijn door (4, 5) en (8, 3) is y = -1/2x + 7 |
||||
| 8. | x2 + 4x + y2
= 21 x2 + 4x + 4 - 4 + y2 = 21 (x + 2)2 + y2 = 25 M = (-2, 0) en r = 5 MP = √((1)2 + (5,5)2) = √31,25 Als R het raakpunt is, geldt 25 + RP2 = 31,25 dus RP2 = 6,25 Cirkel door (-1, 5.5) met straal √6,25: (x + 1)2 + (y - 5.5)2 = 6,25 x2 + 2x + 1 + y2 - 11y + 30,25 = 6,25 x2 + y2 + 2x - 11y + 25 = 0 cirkels snijden; trek de vergelijkingen van elkaar af: 2x + 11y = 46 ⇒ x = 23 - 5,5y invullen in een cirkel: (23 - 5,5y)2 + 4(23 - 5,5y) + y2 = 21 529 - 253y + 30,25y2 + 92 - 22y + y2 = 21 31,25y2 - 275y + 600 = 0 y = (275 ±√625)/62,5 y = 4,8 ∨ y = 4 Dat geeft de raakpunten (-3.4, 4.8) en (1, 4) |
||||
| 9. | x2
+ y 2 + 2y = 12 x2 + y2 + 2y + 1 - 1 = 12 x2 + (y + 1)2 = 13 M = (0, -1) en r = √13 willekeurige lijn door (-1, 4): 4 = -1a + b ⇒ b = 4 + a dus de lijn is y = ax + 4 + a dat is ax - y + 4 + a = 0 De afstand van (0, -1) tot deze lijn moet gelijk zijn aan √13: |
||||
 |
|||||
| 5 + a =
√(13(a2
+ 1) ∨ 5 + a = -√(13(a2
+ 1)) (5 + a)2 = 13(a2 + 1) 25 + 10a + a2 = 13a2 + 13 12a2 - 10a - 12 = 0 a = (10 ±√(676))/24 a = 11/2 ∨ a = -2/3 Door (-1, 4): a = 11/2 geeft y = 11/2x + 51/2 a = -2/3 geeft y = -2/3x + 31/3 |
|||||
| 10a. | Zie de figuur
hiernaast. M2R = M2Q en de hoeken bij R en Q zijn recht. Dat betekent dat de driehoeken MRP en MQP congruent zijn (ZZR) Dus beide rode hoeken bij P zijn gelijk. Op dezelfde manier zijn beide blauwe hoeken bij P gelijk. Maar omdat twee rode ook gelijk zijn aan twee blauwen (overstaande hoeken) is een blauwe hoek gelijk aan een rode. Twee rode en een groene zijn samen 180˚ (lijn RPS) Dus zijn een rode en een blauwe en een groene ook samen 180˚ Dus is ook M2PM1 een rechte lijn. |
 |
|||
| 10b. | De driehoeken
PM1T en PM2R zijn gelijkvormig dus PM1
: PM2 = M1T : M2R Dus PM1 : PM2 = r1 : r2 |
||||
| 10c. | x2+ y2
- 14x - 6y + 38 = 0 x2 - 14x + 49 - 49 + y2 - 6y + 9 - 9 + 38 = 0 (x - 7)2 + (y - 3)2 = 20 M1 = (7, 3) en r1 = √20 x2 + y2 + 16x - 6y - 7 = 0 x2 + 16x + 64 - 64 + y2 - 6y + 9 - 9 - 7 = 0 (x + 8)2 + (y - 3)2 = 80 M2 = (-8, 3) en r2 = √80 PM1 = √((xP - 7)2 + (yP - 3)2) PM2 = √((xP + 8)2 + (yP - 3)2) PM1 : PM2 = r1 : r2 geeft PM1 • r2 = PM2 • r1 √80 • √((xP - 7)2 + (yP - 3)2) = √20 • √((xP + 8)2 + (yP - 3)2) 80(xP2 - 14xP + 49 + yP2 - 6yP + 9) = 20 • (xP2 + 16xP + 64 + yP2 - 6yP + 9) 60xP2 - 1440xP + 60yP2 - 360yP + 3180 = 0 M1M2 is de lijn y = 3, dus ook yP = 3 Invullen geeft 60xP2 - 1440xP + 540 - 1080 + 3180 = 0 60xP2 - 1440xP + 2640 = 0 xP2 - 24xP + 44 = 0 xP = 22 ∨ xP = 2 Dus het punt P kan zijn (2, 3) of (22,3) en daarvan ligt het eerste punt tussen beide middelpunten in. M1P = 5 Als R het raakpunt is, dan geldt: 20 + RP2 = 25 ⇒ RP = √5 Cirkel door (2, 3) met straal √5: (x - 2)2 + (y - 3)2 = 5 x2 - 4x + y2 - 6y = -8 cirkels snijden; trek de vergelijkingen van elkaar af: 10x = 30 ⇒ x = 3 9 - 12 + y2 - 6y = -8 y2 - 6y + 5 = 0 (y - 5)(y - 1) = 0 y = 5 ∨ y = 1 Raakpunt (3, 5) geeft raaklijn PR: y = 2x - 1 Raakpunt (3, 1) geeft raaklijn PR: y = -2x + 7 y = 2x - 1 invullen in cirkel 2: x2 + (2x - 1)2 + 16x - 6(2x - 1) - 7 = 0 x2 + 4x2 - 4x + 1 + 16x - 12x + 6 - 7 = 0 5x2 = 0 Dat geeft maar één snijpunt (0, -1) dus deze raaklijn raakt ook aan cirkel 2. y = -2x + 7 invullen in cirkel 2: x2 + (-2x + 7)2 + 16x - 6(-2x + 7) - 7 = 0 x2 + 4x2 - 28x + 49 + 16x + 12x - 42 - 7 = 0 5x2 = 0 Dat geeft maar één snijpunt (0, 7) dus deze raaklijn raakt ook aan cirkel 2. |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||