© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. methode 1.  
    de lijn heeft vergelijking  y = -x + b
invullen in de cirkel:  x2 + (-x + b)2 - 6 (-x + b) + 1 = 0
x2 + x2 - 2xb + b2 + 6x - 6b + 1 = 0
2x2 + x(6 - 2b) + (b2 - 6b + 1) = 0
discriminant nul:  (6 - 2b)2 - 8(b2 - 6b + 1) = 0
36 - 24b + 4b2 - 8b2 + 48b - 8 = 0
-4b2 + 24b + 28 = 0
b2 - 6b - 7 = 0
(b - 7)(b + 1) = 0
b = 7 ∨  b = -1
De lijn is dus  y = -x + 7  of  y = -x - 1

b = 7 geeft 2x2 - 8x  + 8 = 0 ⇒  (x - 2)2 = 0  ⇒  x = 2  en raakpunt  (2, 5)
b = -1 geeft  2x2 + 8x + 8 = 0  ⇒   (x + 2)2 = 0  ⇒   x = -2  en raakpunt (-2, 1)
       
  methode 2.
    x2 + y2 - 6y + 1 = 0
x2 + y2 - 6y + 9 - 9 + 1 = 0
x2 + (y - 3)2 = 8
Het middelpunt is  (0, 3)
Een lijn loodrecht op rc -1 heeft rc 1
Lijn door M met rc 1:   y = x + 3  snijden met de cirkel:
x2 + (x + 3)2 - 6(x + 3) + 1 = 0
x2 + x2 + 6x + 9 - 6x - 18 + 1 = 0
2x2 - 8 = 0
x2 = 4
x = 2 ∨  x = -2
Dat geeft de raakpunten (2, 5) en (-2, 1)
Dat geeft de raaklijnen y = -x + 7  en  y = -x - 1
       
  methode 3.
    De afgeleide is -1
2x + 2y • y' - 6y' = 0
y'(2y - 6) = -2x
y
'= -2x/(2y - 6) = -1
2x = 2y - 6
x = y - 3
en nu gaat het verder als in methode 2.
 
       
2. x2 - 2x  + y2 - 4y  = 36
x2 - 2x + 1 - 1 + y2 - 4y + 4 - 4 = 36
(x - 1)2 + (y - 2)2 = 41
middelpunt is M = (1, 2)
MR gaat door  (1,2) en (5, 7)
a = (7 - 2)/(5 - 1) = 5/4
De raaklijn staat daar loodrecht op, dus heeft helling -4/5 en gaat door (5,7)
7 = -4/5 • 5 + b geeft  b = 11 en de raaklijn is dan  y = -4/5x + 11
       
3. x2 + y2 - 8y + 8 = 0
x2 + y2 - 8y + 16 - 16 + 8 = 0
x2 + (y - 4)2 = 8
middelpunt is  M(0, 4)
MR gaat door  (0, 4) en (-2, 2)
a = (4 - 2)/(0 --2) = 1
De raaklijn staat daar loodrecht op en heeft helling -1 en gaat door (-2, 2)
2 = -1 • -2 + b geeft b = 0 en de raaklijn is dan  y = -x
       
4. a Een rechte lijn is in het algemeen  y = ax + b
(2, 3) invullen:  3 = 2a + b  dus  b = 3 - 2a
Dan is de vergelijking  y = ax + 3 - 2a
       
  b. x2 + y2 + 2x - 3y = 8
x2 + 2x + 1 - 1 + y2 - 3y + 21/4 - 21/4 = 8
(x + 1)2 + (y - 11/2)2 = 111/4
M = (-1, 11/2)  en  r = 111/4
       
  c. l is de lijn  ax - y = 2a - 3  
     
    (3a - 11/2) = (111/4) • (a2 + 1)
9a2  - 9a + 21/4 = 111/4 • (a2 + 1)
9a2 - 9a + 21/4 = 111/4a2 + 111/4
-21/4a2 - 9a - 9 = 0
a2 + 4a + 4 = 0
(a + 2)2 = 0
a = -2
Dan is de raaklijn de lijn  y = -2x + 3 + 4  ofwel  y = -2x + 7
 
       
5. De vergelijking van de lijn invullen in de cirkel;   x2 + (ax + b)2 = r2
x2 + a2x2 + 2abx + b2  - r2 = 0
x2(1 + a2) + 2abx + b2 - r2 = 0
De discriminant is nul als   (2ab)2 - 4(1 + a2)(b2 - r2) = 0
4a2b2 = 4(b2 - r2 + a2b2 - a2r2)
a2b2 = b2 - r2 + a2b2 - a2r2
b2 = r2 + a2r2
       
6. x2 + y2 - 4x  - 2y = 20
x2 - 4x + 4 - 4 + y2 - 2y + 1 - 1 = 20
(x - 2)2 + (y - 1)2 = 25
M = (2, 1)  en  r = 5
P = (9, 2) dus  MP = (72 + 12) = 50
Als R het raakpunt is, dan geldt:   52 + RP2 = 50
RP2 = 25  dus  RP = 5
cirkel door P met straal 5:   (x - 9)2 + (y - 2)2 = 25
x2 - 18x + y2 - 4y = -60

cirkels snijden; trek de vergelijkingen van elkaar af:
14x + 2y = 80 ⇒  y = 40 - 7x
invullen in een cirkel:  x2 + (40 - 7x)2 - 4x - 2(40 - 7x) = 20
x2 + 1600 - 560x + 49x2 - 4x - 80 + 14x - 20 = 0
50x2 - 550x + 1500 = 0
x2 - 11x + 30 = 0
(x - 5)(x - 6) = 0
x = 5  ∨ x = 6
Dat geeft de raakpunten  (5, 5)  en  (6, -2)

raaklijn door (5, 5) en (9, 2) :  helling  (2 - 5)/(9 - 5) = -3/4
5 = -3/4 • 5 + b geeft  b = 83/4  en de raaklijn  y = -3/4x + 83/4.

raaklijn door (6, -2) en (9,2):  helling  (2 - -2)/(9 - 6) = 11/3
-2 = 11/3 • 6 + b geeft  b = -10  en de raaklijn  y = 11/3x - 10
       
7. x2 + y2 - 4x - 2y = 15
x2 - 4x + 4 - 4 + y2 - 2y + 1 - 1 = 15
(x - 2)2 + (y - 1)2 = 20
M = (2, 1) en r = 20
P = (8, 3) dus  MP = (62 + 22) = 40
Als R het raakpunt is, dan geldt:   20 + RP2 = 40  ⇒  RP = 20
Cirkel door (8, 3) met straal  √20:   (x - 8)2 + (y - 3)2 = 20
x2 - 16x + y2 - 6y = -53

cirkels snijden; trek de vergelijkingen van elkaar af:
12x + 4y = 68   Þ   y = 17 - 3x
invullen in een cirkel:   x2 + (17 - 3x)2 - 4x - 2(17 - 3x)  = 15
x2 + 289 - 102x + 9x2 - 4x - 34 + 6x = 15
10x2 - 100x + 240 = 0
x(100 ±√(10000 - 9600))/20
x = 6    x = 4
Dat geeft de raakpunten  (6, -1)  en  (4, 5)
Lijn door  (6, -1)  en  (8, 3 )  is  y = 2x - 13
Lijn door  (4, 5) en (8, 3) is  y = -1/2x + 7
       
8. x2 + 4x + y2 = 21
x2 + 4x + 4 - 4 + y2 = 21
(x + 2)2 + y2 = 25
M = (-2, 0) en r = 5
MP = √((1)2 + (5,5)2) = √31,25
Als R het raakpunt is, geldt  25 + RP2 = 31,25  dus  RP2 = 6,25
Cirkel door (-1, 5.5) met straal  √6,25:   (x + 1)2 + (y - 5.5)2  = 6,25
x2 + 2x + 1 + y2  - 11y + 30,25 = 6,25
x2 + y2 + 2x - 11y + 25 = 0

cirkels snijden; trek de vergelijkingen van elkaar af:
2x + 11y = 46  ⇒  x = 23 - 5,5y
invullen in een cirkel:  (23 - 5,5y)2 + 4(23 - 5,5y) + y2 = 21
529 - 253y + 30,25y2 + 92 - 22y + y2 = 21
31,25y2 - 275y + 600 = 0
y = (275 ±√625)/62,5
y = 4,8     y = 4
Dat geeft de raakpunten  (-3.4, 4.8)  en  (1, 4)  
       
9.  x2 + y 2 + 2y = 12
x2 + y2 + 2y + 1 - 1 = 12
x2 + (y + 1)2 = 13
M = (0, -1)  en  r = √13

willekeurige lijn door  (-1, 4):   4 = -1a +    b = 4 + a   dus de lijn is  y = ax  + 4 + a
dat is  ax - y + 4 + a = 0

De afstand van  (0, -1) tot deze lijn moet gelijk zijn aan √13: 
 
  5 + a = √(13(a2 + 1)   ∨    5 + a = -√(13(a2 + 1))
(5 + a)2 = 13(a2 + 1)
25 + 10a + a2 = 13a2 + 13
12a2 - 10a - 12 = 0
a = (10 ±√(676))/24
a = 11/2   ∨ a = -2/3
Door  (-1, 4):
a = 11/2   geeft  y = 11/2x + 51/2
a = -2/geeft  y = -2/3x + 31/3
       
10a. Zie de figuur hiernaast.
M2R = M2Q  en  de hoeken bij R en Q zijn recht.
Dat betekent dat de driehoeken MRP en MQP congruent zijn (ZZR)
Dus beide rode hoeken bij P zijn gelijk.

Op dezelfde manier zijn beide blauwe hoeken bij P gelijk.
Maar omdat twee rode ook gelijk zijn aan twee blauwen (overstaande hoeken) is een blauwe hoek gelijk aan een rode.

Twee rode en een groene zijn samen 180˚  (lijn RPS)
Dus zijn een rode en een blauwe en een groene ook samen 180˚
Dus is ook M2PM1 een rechte lijn.
       
10b. De driehoeken  PM1T en PM2R zijn gelijkvormig dus PM1 : PM2 = M1T : M2R
Dus PM1 : PM2 = r1 : r2  
       
10c.  x2+ y2 - 14x - 6y + 38 = 0
x2 - 14x + 49 - 49 + y2 - 6y + 9 - 9 + 38 = 0
(x - 7)2 + (y - 3)2 = 20
M1 = (7, 3)  en  r1 = 20

x2 + y2 + 16x - 6y - 7 = 0
x2 + 16x + 64 - 64 + y2 - 6y + 9 - 9 - 7 = 0
(x + 8)2 + (y - 3)2 = 80
M2 = (-8, 3)  en r2 = 80

PM1 = ((xP - 7)2 + (yP - 3)2)
PM2 = ((xP + 8)2 + (yP - 3)2)
PM1 : PM2 = r1 : r2  geeft  PM1 • r2 = PM2 • r1
80 • ((xP - 7)2 + (yP - 3)2) = 20 • ((xP + 8)2 + (yP - 3)2)
80(xP2 - 14xP + 49 + yP2 - 6yP + 9) = 20 • (xP2 + 16xP + 64 + yP2 - 6yP + 9)
60xP2 - 1440xP + 60yP2 - 360yP + 3180 = 0

M1M2 is de lijn   y = 3, dus ook yP = 3
Invullen geeft  60xP2 - 1440xP + 540 - 1080 + 3180 = 0
60xP2 - 1440xP + 2640 = 0
xP2 - 24xP + 44 = 0
xP = 22  ∨  xP = 2
Dus het punt P kan zijn  (2, 3)  of  (22,3)  en daarvan ligt het eerste punt tussen beide middelpunten in.

M1P = 5
Als R het raakpunt is, dan geldt:   20 + RP2 = 25  ⇒  RP = 5
Cirkel door (2, 3) met straal  √5:   (x - 2)2 + (y - 3)2 = 5
x2 - 4x + y2 - 6y = -8 
cirkels snijden; trek de vergelijkingen van elkaar af:
10x = 30 ⇒  x = 3
9 - 12 + y2 - 6y = -8
y2 - 6y + 5 = 0
(y - 5)(y - 1) = 0
y = 5  y = 1
Raakpunt  (3, 5) geeft raaklijn PR:  y = 2x - 1 
Raakpunt (3, 1) geeft raaklijn  PR:  y = -2x + 7

y
= 2x - 1 invullen in cirkel 2:  x2 + (2x - 1)2 + 16x - 6(2x - 1) - 7 = 0
x
2 + 4x2 - 4x + 1 + 16x - 12x + 6 - 7 = 0
5x2 = 0
Dat geeft maar één snijpunt (0, -1) dus deze raaklijn raakt ook aan cirkel 2.

y = -2x + 7 invullen in cirkel 2: x2 + (-2x + 7)2 + 16x - 6(-2x + 7) - 7 = 0
x2 + 4x2 - 28x + 49 + 16x + 12x - 42 - 7 = 0
5x2 = 0
Dat geeft maar één snijpunt (0, 7) dus deze raaklijn raakt ook aan cirkel 2.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)