h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek IV, propositie 10.
       
Teken een gelijkbenige driehoek met de basishoeken het dubbele van de tophoek.
       
Begin met een lijn AB.

Snij AB  in twee stukken AC en CB 
zodat de rechthoek van AB bij CB gelijk is aan het vierkant op AC
(II-11)

Teken de cirkel met middelpunt A en straal AB.
Teken in deze cirkel koorde BD gelijk aan AC  (IV-1)
Teken de omgeschreven cirkel van ACD  (IV-5)

AB CB = AC2
AC = BD, dus  AB CB = BD2

Van de twee lijnen BA en BD snijdt de een de kleine cirkel en de ander heeft ook een punt gemeen met de kleine cirkel. En ook AB BC = BD2
Dus raakt BD de kleine cirkel  (III-37)

       
Dan zijn de rode hoeken gelijk  (koorde en raaklijn)  (III-32)
Tel bij beiden een groene hoek op.
De blauwe hoek bij C is rood + groen (buitenhoek)  (I-32)
De blauwe hoek bij D is rood + groen.
De blauwe hoek bij B is gelijk aan de blauwe hoek bij D (gelijkbenige driehoek ABD)   (I-5)
Dus de drie blauwe hoeken zijn gelijk aan elkaar.

Maar dan is BCD ook gelijkbenig, dus BD = CD   (I-6)
Bovendien was BD zo gekozen dat BD = AC dus  CD = AC en driehoek ACD is gelijkbenig.
Dan is de rode hoek gelijk aan de groene (basishoeken)  (I-5)

Dus driehoek ABD heeft basishoeken het dubbele van de tophoek.
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)