h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek IV, propositie 5.
       

Teken de omgeschreven cirkel van een driehoek.

       
Teken de middens P en Q van twee zijden van de driehoek.
Teken de middelloodlijnen op die zijden, en laat die elkaar snijden in M.
Teken MA, MB en MC.

CQM en CPM zijn congruent (ZHZ)  (I-4)
dus  MA = MC
Op dezelfde manier volgt dat  MA = MB
Dus MA = MB = MC en de cirkel met middelpunt M en straal MA gaat door alle drie de punten A, B en C

Dan is dat de omgeschreven cirkel van de driehoek.

       
Twee speciale gevallen:

1. Stel dat M op AB ligt.
Dan kun je op dezelfde manier bewijzen dat M het middelpunt van de omgeschreven cirkel is.
 

2. Stel dat M buiten de driehoek valt.
Weer zijn de driehoeken AQM en CQM congruent (ZHZ)  (I-4)
Dus op dezelfde manier is AM = BM = CM en gaat de cirkel met middelpunt M en atraal AM door de drie hoekpunten A, B en C.
 

       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)