De Quotiëntregel.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Hier is een functie die we nog niet kunnen differentiëren:
Een functie die een breuk is. Die eigenlijk bestaat uit twee functies op elkaar gedeeld worden.
Het zal hopelijk wel duidelijk zijn dat je niet gewoon de teller en de noemer apart mag differentiëren. Dat kun je bijvoorbeeld zien aan het eenvoudige voorbeeld  f(x) = x/x
Daar staat natuurlijk f(x) = 1, dus de afgeleide wordt f '(x) = 0
Maar als je de teller en de noemer apart differentieert geeft dat 
f
'(x) = 1/1 = 1 en dat is duidelijk niet het zelfde.

Hoe moet het dan wél?

De oplossing is te vinden door je te bedenken dat delen en vermenigvuldigen eigenlijk hetzelfde is! Van elke deling kun je een vermenigvuldiging maken. Zo is bijvoorbeeld   5/3 = 5 • 1/3  = 5 • 3-1  en  x/4 = x1/4 = x • 4-1 en  6/p = 6 • 1/p = 6 • p-1  en ga zo maar door.
Als we deze functie schrijven als  t/n  (teller gedeeld door noemer) dan is hij hetzelfde als  t •  1/n = t n-1
En deze laatste kunnen we met de productregel en de kettingregel differentiëren:

Bij die laatste stap moet je eraan denken dat die n-1 eigenlijk een kettingfunctie is:   [   ]-1 ,dus moet je de kettingregel gebruiken. De functie n is het "blok".
Dit laatste is gelijk aan:

Dit laatste heet de quotiëntregel.
Als we hem schrijven als twee functies op elkaar gedeeld dan geeft dat:

(Voor een ander bewijs, waar je de kettingregel niet bij nodig hebt,  moet je maar hiernaast kijken).
Het voorbeeld helemaal aan het begin zou dus als afgeleide geven:
Nog een paar puntjes om op te letten:
1.  Alleen gebruiken als het nodig is.

Je moet de quotiëntregel alleen gebruiken als er in de teller én in de noemer van de functie x-en staan. Als dat niet zo is, dan is het niet fout om hem toch te gebruiken, maar dan kan het allemaal veel simpeler.
Twee voorbeelden zullen dat duidelijk maken, hoop ik:

2.  Denk om de kettingregel.

Natuurlijk kan ook hier bij die f ' of g' de kettingregel weer opduiken. In het volgende voorbeeld zelfs tweemaal

Zie je waar de kettingregel is verschenen?

bij de • 2  en  • 4 in de teller

3.  Laat de noemer met rust! Kijk naar de teller!

Meestal heeft het niet zoveel zin om de haakjes van de noemer weg te werken. In het eerste voorbeeld lieten we ook gewoon (x2 + 4)2  en maakten we er niet van x4 + 8x2 + 16. Het voordeel van die haakjes laten staan is dat je makkelijker kunt zien wanneer de noemer nul wordt en de afgeleide dus niet bestaat.
Meestal moet je immers oplossen f ' = 0  (om maxima en minima te vinden) en in dat geval kun je gewoon de teller gelijk aan nul stellen:

breuk = 0    teller = 0 
   
  OPGAVEN
1. Geef de afgeleiden van de volgende functies:
a. e.
b. f.
c. g.
d. h.
2. Gegeven is de functie:
Je kunt de afgeleide daarvan berekenen met de quotiëntregel maar ook door de breuk eerst in twee aparte breuken te splitsen. Bereken op deze twee manieren de afgeleide van  en laat zien dat de beide manieren hetzelfde resultaat geven.
3. Geef de afgeleide van de volgende functies (je hoeft niet te herleiden):
a. b.
4. Gegeven is de functie
     
a. Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt van de grafiek waarvoor x = 0,5.
   

y=-2/9x + 17/9

b. Bereken algebraïsch in twee decimalen nauwkeurig de afstand tussen het maximum en het minimum van de grafiek van deze functie.
       

2,82

5. Het fileprobleem.
Voor de remweg r  (in meter) van een auto met snelheid v (in km/uur)  geldt dat  r = 25v²/648a  waarbij  a de vertraging is (in m/s2) die de remmen kunnen leveren.
Hoe je aan deze formule komt is een stukje natuurkunde. Dat kun je hier wel vinden, maar is voor de rest van deze opgave niet van belang.
De meeste auto's hebben a = 4 en dat geeft  r = 0,0096v2
Laten we een rij auto's bekijken die elk 5 meter lang zijn en die met snelheid v rijden en precies als onderlinge afstand de benodigde remweg r bij deze snelheid aanhouden:

Stel dat we een teller langs deze weg zetten en meten hoeveel auto's er in een uur voorbij komen.
Als dat aantal A is, dan geldt:
 
 
a. Toon aan dat deze formule juist is.
     
b. Leg uit wat er met het aantal auto's gebeurt als de minister de maximale snelheid verhoogt van 100 km/uur naar 120 km/uur en als alle auto's rijden met de maximale snelheid.
   

van 990 naar 838

c. Om files te voorkomen en de doorstroming te bevorderen is het natuurlijk het gunstigst als A zo groot mogelijk is. Bereken algebraïsch bij welke snelheid A maximaal is.
       

v = √(3125/6) 23

6. Een 6-volt batterij heeft een inwendige weerstand
Ri = 5W. Er wordt een uitwendige weerstand Ru op aangesloten.
De batterij levert dan een vermogen P = I2Ru. Daarbij is I de stroomsterkte, met I = V/R waarbij R de totale weerstand in de kring is.
In dit geval is dus  R = Ri + Ru.

     
a. Toon aan dat hieruit volgt:
:
     
b. Bereken algebraïsch bij welke uitwendige weerstand het vermogen maximaal is.
       

R = 5

7. Ik heb een twee meter hoge schutting in mijn tuin staan. 
De zon staat recht boven ons te branden.
Mijn zoontje wil schuilen en gaat een hut bouwen. Hij zet daarom een grote plaat schuin tegen de schutting.
De plaat is 5 meter lang!
De plaat steekt ook een stuk over de schutting heen, zodat mijn buurman ook wat schaduw krijgt.

Noem de lengte van het schuin overstekende stuk x.
Wat is dan de maximale lengte van de schaduwplek in de tuin van mijn buurman?
(verwaarloos de dikte van plaat en schutting, en geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig met een algebraïsche berekening)

       

1,545 m.

8. Om je eigen opium te kunnen produceren moet je papavers in een kas kweken. Van de zaadbollen daarvan kun je opium maken. Het blijkt dat het groeimiddel "MiracleGrow" het aantal zaadbollen per plant kan verhogen. Er geldt:

Met Z = aantal zaadbollen per plant per oogst en B = bemesting (liters MiracleGrow per plant per oogst)

a. Bereken algebraïsch hoeveel zaadbollen een plant zonder bemesting levert en ook hoeveel bollen een plant met bemesting maximaal kan gaan leveren.

2 en 20

MiracleGrow is echter wel duur: het goedje kost €40,- per liter. Een papaverbol levert echter €60,- op aan opium.
b. Bereken voor welke bemesting B de winst voor een kweker maximaal zal zijn.
       

B = -5+315

9. Laat zien dat de functie:

voor elke a een extreme waarde van y = -4a heeft.

           
10. Het gaat goed met de Sinterklaas B.V.
Sint evalueert met de Hoofdpiet het afgelopen seizoen en ze komen tot de ontdekking dat de afgelopen jaren de hoeveelheid pepernoten maar groeit en groeit.  De Rekenpiet ontdekt de volgende formule:
           
 

           
  Daarin is t de tijd in jaren en K het aantal kg pepernoten in duizenden.
           
  a. Het afgelopen jaar (2010) verbruikte de Sint 8333 kg.  Welk jaartal hoort dan bij t = 0?
         

1969

  b. Laat zien dat het pepernootverbruik nu stijgt.
           
  c. Wanneer was het pepernootverbruik minimaal? Geef een algebraïsche berekening.
         

t = 8,198

           
11. Als je last hebt van koorts, dan kun je daar een koortswerend middel tegen innemen. De bekendsten zijn waarschijnlijk paracetamol en ibuprofen.
Die middelen zorgen ervoor dat de lichaamstemperatuur zakt naar het "normale" niveau.
Neem aan dat na inname van een tablet paracetamol geldt:
           
 

           
  Daarin is T de temperatuur in  ºC en t de tijd na inname in uren.
           
  a. Toon aan dat de temperatuur vanaf t = 0 alsmaar daalt.
           
  b. Hoe snel daalt de temperatuur op t = 3?
         

0,12 °C/uur

  c. Vanaf een bepaalde lichaamstemperatuur is de daling minder dan 0,05 °C/uur. Bij welke lichaamstemperatuur is dat zo?
         

37,274 °C

           
12. Een neuropsycholoog meet bij een aantal proefpersonen het adrenalinegehalte in het bloed tijdens het kijken naar een horrorfilm. Zij ontdekte dat het volgende verband dat gehalte aardig goed beschrijft:
           
 

           
  Daarin is A het adrenalinegehalte (in mmol/liter) en t de tijd in uren met t = 0 op het moment dat de film begint.
           
  a. Toon aan dat het adrenalinegehalte van een proefpersoon uiteindelijk weer even groot wordt als aan het begin van de film.
           
  b. Het adrenalinegehalte is natuurlijk maximaal op het spannendste moment van de film. Na hoeveel minuten was dat? Geef een algebraïsche berekening.
         

109,5 min

           
13. Gegeven is de functie:
 

           
  a. Bereken de coördinaten van het minimum van de grafiek van f.
         

(5,19)

  b. Er zijn twee punten op de grafiek van f waar de raaklijn helling 1,5 heeft. Welke twee punten zijn dat?
         

(8,22)(-4, -8)

  c. Voor welke waarden van p heeft de vergelijking  f(x) = p geen oplossingen?
         

-1 < p < 19

  d. Hoe groot wordt de helling van de grafiek van f als x oneindig groot wordt?  Wat betekent dat voor de grafiek?
           
14. Een handelaar in vuurwerk verkoopt standaardpakketten voor 12 euro. Hij merkt echter dat hij meer pakketten verkoopt als hij de prijs verlaagt. De volgende formule geldt:
           
 

           
  Daarin is q het aantal verkochte pakketten en p de prijs in euro per pakket.
           
  a. Toon algebraïsch aan dat bij verhoging van de prijs het aantal verkochte pakketten inderdaad alsmaar zal afnemen.
           
  b. Met welke snelheid neemt de verkoop af bij een prijs van 16 euro?
         

1,20 pakket/euro

           
15. Als je een tablet van een pijnstiller inneemt, dan duurt het even voordat alle werkzame stof in je bloed is opgenomen. Voor de concentratie C (in mg/liter) als functie van de tijd t (in minuten na inname) geldt het volgende verband:
           
 

           
  a. Hoe groot zal die concentratie maximaal worden? Geef een algebraïsche berekening, en je antwoord in 2 decimalen nauwkeurig.
         

0,02 mg/l

  b. Wanneer is de snelheid waarmee C afneemt maximaal?
         

t = 6,47

           
16. Een boer heeft zijn koeien een poos bijgevoederd met krachtvoer en ze zijn inderdaad steeds meer melk gaan geven. Hij vindt het bijvoederen nu toch wel wat duur worden, en besluit daarom (op t = 0) ermee te stoppen.
De daaropvolgende dagen merkt hij dat de koeien nog eventjes meer melk gaan geven, maar dat daarna de melkproductie langzaam weer afneemt. Hij ontwikkelt het model:
           
 

           
  M is in liters melk per koe per dag, t is de tijd in dagen.
           
  a. Hoeveel melk gaf een koe per dag op het moment van stoppen met  bijvoederen?
         

 13,5

  b. Toon aan dat na het stopzetten de melkproductie eerst nog blijft stijgen.
           
  c. Bereken algebraïsch de maximale melkproductie per koe per dag die er bereikt zal worden.
         

 21,07

  d. Bereken hoe groot de melkproductie op de lange duur zal worden.
         

 12 

           
17. Het kenmerk van een rage is, dat de belangstelling voor een nieuw merk in korte tijd zeer snel toeneemt, dan een poosje bijna constant blijft, en uiteindelijk langzaam weer afneemt. Een wiskundig model voor een rage is:
           
 

           
  Daarin is P het percentage van de markt dat het merk inneemt en de tijd in dagen met t = 0 het tijdstip waarop het merk op de markt verschijnt.
           
  a.  Bereken algebraïsch het maximale percentage dat zo'n merk zal bereiken.
         

 42,7% 

  b. Bereken algebraïsch hoe lang zo'n merk minstens 39% van de markt zal  innemen.
         

 68 dagen 

           
18. Het aantal calorieën (C) dat een zwemmer per minuut verbruikt is evenredig met v2  waarbij v zijn snelheid in m/s ten opzichte van het water is.  (Er geldt dus  C = k . v2  waarbij k een constante is die per zwemmer verschilt)

Een zwemmer zwemt tegen de stroom in, en de stroomsnelheid van het water is 1 m/s.
Hij legt een afstand van 3 km af.  Voor zijn calorieverbruik geldt dan:
           
 

           
  a. Toon aan dat deze formule juist is.
           
  b. Bereken bij welke snelheid ten opzichte van het water een zwemmer met het minste calorieën verbruikt bij het afleggen van deze 3 km. Leg duidelijk uit waarom de waarde van k geen invloed op deze berekening heeft.
         

 2 m/sec 

     
19. De hoeveelheid glucose in ons bloed noemen we de bloedsuikerspiegel.
Als we eten wordt die bloedsuikerspiegel hoger. Sommige voedingsmiddelen, zoals koolhydraatrijke en suikerhoudende producten, kunnen de bloedsuikerspiegel zeer veel laten stijgen (dat heten voedingsmiddelen met een hoge glycemische index).
Na het eten stijgt de bloedsuikerspiegel dus, om na verloop van tijd (als de suikers in de cellen verbrand worden) weer te dalen. Het volgende model blijkt te gelden:
           
 

           
  Daarin is B de bloedsuikerspiegel in mmol/liter en t de tijd in minuten met t = 0 op het moment van voedselinname.
g is de glycemische index, en is een getal tussen 5 en 10.
           
  a. Een voedingsmiddel heeft g = 8.  Bereken algebraïsch de maximale bloedsuikerspiegel die bereikt zal worden.
         

 8,86 

  Hiernaast zie je een grafiekenbundel voor verschillende waarden van g

       
  b. Onderzoek met de formule of de B-waarde uiteindelijk weer zal eindigen op de waarde aan het begin.
       
  In deze grafiekenbundel lijkt het erop dat de maximale waarde van B volgens dit model steeds op hetzelfde tijdstip t wordt bereikt.
       
  c. Toon aan dat dat inderdaad het geval is, en bereken de exacte waarde van t waarvoor dit het geval is.
         

 t = 50 

           
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)