© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a.
       
  b.
   

  c.
       
  d.
     
       
  e. y = 1/5 • (3x2 + 6x)
y ' = 1/5 • (6x + 6) = 6/5x + 6/5		  
       
  f.
       
  g. f(x) = 3x-0,5
f ' = -0,5 • 3x-1,5 = -3/2x√x		  
       
  h.
     
       
2.
       
  f(x) = 4x/x2 + 8/x2 = 4x-1 + 8x-2
f ' (x) = -4x-2 - 16x-3  = -4/x2 - 16/x3 = -4x/x3 - 16/x3 = (-4x - 16)/x3

Dat is inderdaad gelijk.
Gelukkig maar.....
       
3. a.
       
  b.
       
4. a.  
    f '(0,5) = (3 • 1,5 - 2,5 • 2)/1,52 =  -2/9
De raaklijn is dus  y = -2/9x + b
f(0,5) = 5/3
5/3 = -2/9 • 0,5 + b  geeft  b = 17/9
De raaklijn is  y = -2/9x + 17/9
       
  b. f ' = 0
3(1 + 2x2) - (3x + 1)4x = 0
3 + 6x2 - 12x2 - 4x = 0
-6x2 - 4x + 3 = 0
x =  (4 ±√(16 + 72))/-12 =  -1,115 of  0,448
in vullen in de formule voor f geeft de punten:  (-1.115, -0.673)  en   (0.448, 1.673)
De afstand is dan  √((0,448 + 1,115)2 + (1,673 + 0,673)2) = 2,82
       
5. a. Als de snelheid v km/uur is, dan komt er in een uur v kilometer file voorbij, en dat is 1000v meter
Elke auto neemt  5 + r meter, dus dat zijn  1000v/(5 + r) auto's
Vul daarin de formule voor de remweg r in, en je hebt de gegeven formule.
       
  b. A(100) = 990
A(120) = 838
Er kunnen dan minder auto's per uur langs de weg, dus de files zullen toenemen!
       
  c.
    Dat is nul als de teller nul is:
1000(0,0096v2 + 5) - 1000v• 2 • 0,0096v = 0
9,6v2 + 5000 - 19,2v2 = 0
9,6v2 = 5000
v2 = 520,8
v = 22,82 km/uur
       
6. a. I = V/(Ri + Ru)
V = 6 en Ri = 5 geeft  I = 6/(5 + Ru)
   
       
  b.
    Dat is nul als de teller nul is;
36(25 + 10Ru + Ru2 ) - 36Ru(10 + 2Ru) = 0
900 + 360Ru + 36Ru2 - 360Ru - 72Ru2 = 0
-36Ru2 + 900 = 0
Ru2 = 25
Ru = 5
       
7. Stel dat CD = x  dan is  BD = 5 - x
CED en DFB zijn gelijkvormig, dus  CE/CD = DF/DB
CE/x  =  2/5-x
CE = 2x/(5 - x)
de schaduw is AF  = ED
ED2 =  CD2 - CE2
ED2 = x2 - (2x/(5 - x))2
ED2 = x2 - 4x²/(5 - x)²

   
  Een wortel is maximaal als het deel onder de wortel maximaal is.
De afgeleide daarvan nul stellen:
 
  2x(5 - x)4 = 8x(5 - x)2 + 8x2(5 - x)
Alles delen door (5 - x) en door x en door 2
(5 - x)3  = 4(5 - x) + 4x
(5 - x)3 = 20
5 - x = 2,71
x = 2,29
Dan is  ED = 1,545
       
       
8. a. Zonder bemesting:  Z(0) = 10/5 = 2
Z(∞) =  20B/B = 20  maar die 20 wordt nooit helemaal gehaald....
       
  b.
   
    W ' = 0  geeft  1200(5 + B) - (1200B + 600) = 40(5 + B)2
6000 + 1200B - 1200B - 600 = 40(25 + 10B + B2)
5400 = 1000 + 400B + 40B2
40B2 + 400B - 4400 = 0
B2 + 10B - 110 = 0
ABC-formule:   B = (10 ±√(100  + 440))/2 = 16,61  (of -6,61 maar dat kan niet)
Dus voor B = 16,61 is de opbrengst maximaal (die is dan 285,46)
       
9.
  Dat is nul als de teller nul is, dus als  x = 0  of  x = -2a
 
       
10. a. (t² + 100)/(5t + 10) = 6,25
t2 + 100 = 6,25(5t + 10)
t2 + 100 = 31,25t + 62,5
t2 - 31,25t + 37,5  = 0
ABC-formule:   t = (31,25 ±√(976,5625 - 150))/2 = 1,25  of  30
Als in 2010 geldt dat  t = 30, dan is  t = 0 in het jaar 1980
       
  b.
    K '(30) = 4600/25600 = 0,18
Dat is groter dan nul, dus K stijgt.
       
  c. K ' = 0  als  5t2 + 20t - 500 = 0  (zie vraag b)
t2 + 4t - 100 = 0
ABC-formule  t = (-4 ±√(16 + 400))/2 = 8,2  (of  -12,2 maar dat kan niet)
t = 8  geeft  K = 3,28
t = 9 geeft K = 3,29
Het verbruik was dus minimaal op t = 8  (1988)
       
11. a.
    De noemer is een kwadraat dus is altijd positief.
De teller is negatief, dus T' is altijd negatief, dus T daalt.
       
  b. T '(3) = -6/49 =  -0,12
de temperatuur daalt dan met 0,12 ºC/uur
       
  c. -6/(2t + 1)2 = -0,05
6 = 0,05(2t + 1)2
(2t + 1)2 = 120
2t + 1 = √120 ∨  2t + 1 = -√120
t = 4,98 ∨  t = -5,98  maar dat laatste kan niet.
Dus vanaf t = 4,98 daalt de temperatuur met minder dan 0,05ºC/uur
       
12. a. t = 0 geeft  A = 0,5

Vul voor t een heel groot getal in, dan vind je weer A ≈ 0,5
       
  b.
    Voor het maximum is de teller nul:
(6t + 50)(6t2 + 20) - (3t2 + 50t + 10) • 12t = 0
36t3 + 120t + 300t2 + 1000 - 36t3 - 600t2 - 120t = 0
-300t2 + 1000 = 0
t2 = 3,33
t = 1,826 uur
Dat is na 1 uur en 49 minuten
       
13. a.
    f '(x) = 0   geeft dan  2x2 - 8x - 10 = 0
x2 - 4x - 5 = 0
(x - 5)(x + 1) = 0
x = 5  ∨  x =  -1
Dat geeft de punten   (5, 19) en (1, -5)  (invullen in de formule van f)
Het minimum is  (5, 19)  (plot de grafiek: zie bij vraag c))
       
  b. f '(x) = 1,5
2x2 - 8x - 10 = 1,5(x - 2)2
2x2 - 8x - 10 =  1,5(x2 - 4x + 4)
2x2 - 8x - 10 = 1,5x2 - 6x + 6
0,5x2 - 2x - 16 = 0
x2 - 4x - 32 = 0
(x + 4)(x - 8) = 0
x = -4 ∨  x = +8
Dat geeft de punten  (-4, -8)  en  (8, 22) 
       
  c. Zie de figuur hiernaast.
Tussen het maximum en het minimum geeft de lijn y = p geen snijpunten met de grafiek
Dat is dus voor  -5 < p < 19

     
  d. f ' =  (2x² - 8x- 10)/(x² - 4x + 4)
Voor hele grote x is dat ongeveer gelijk aan  2x²/x² = 2
De helling wordt dus 2, dus de grafiek zal langs een rechte lijn met helling 2 gaan lopen.
 
       
14. a.
    De teller is een positief getal.
De noemer is een kwadraat dus ook altijd positief.
q ' is altijd positief, dus q stijgt altijd.
       
  b. q '(16) = 5868/682 = 1,27 pakketten per euro
       
15. a.
    C '= 0  als  0,2t2 + 0,8 = 0
0,2t2 = 0,8
t2 = 40
t = 6,32 minuten na inname.
       
  b. Plot de grafiek van C' 
Y2 = nDerive(Y1, X, X)
gebruik calc - minimum
dat geeft  t = 4,21
       
16. a. M(0) = 60/40 + 12 = 13,5 liter per dag  
       
  b.
    M'(0) = (250 • 40 - 60 • 16)/(402) = 5,65
Dat is positief dus op t = 0 stijgt de melkhoeveelheid.
       
  c. vervolg van b:
M ' = 0
250(t2 + 16t + 40) - (250t + 60)•(2t + 16) = 0
250t2 + 4000t + 10000 - 500t2 - 4000t - 120t - 960 = 0
-250t2 - 120t + 9040 = 0
ABC-formule:   t = (120 ±√(14400 + 9040000))/-500 = 5,78  (of -6,26 maar dat valt af)
M(5,78) = 21,07  liter per dag 
       
  d. neem t een heel groot getal.
Dan gaat M naar 12 dus de productie zal uiteindelijk 12 liter melk per dag worden.
       
17. a.
    P ' = 0
-8t2 - 40t + 8000 = 0
t2 + 5t - 1000 = 0
ABC-formule:  t = (-5 ±√(25 + 4000))/2 = 29,22   (of  -34,22 maar dat valt af)
P(29,22) = 42,7%
       
  b. 39 = (400t- t²)/(8t + 20)
39(8t + 20) = 400t - t2
312t + 780 = 400t - t2
t2 - 88t + 780 = 0
ABC-formule:  t = (88 ±√(7744 - 3120))/2 = 78  of  10
Minstens 39% zal zijn tussen t = 10 en t = 78 en dat is 68 dagen.
       
18. a. Als zijn snelheid v is tov het water en hij zwemt tegen het water in en het water stroomt met 1 m/s dan zijn snelheid  (v - 1) m/s.
Per minuut zwemt hij dan 60(v - 1) meter
3 km is 3000 meter dus daar doet hij  3000/(60(v - 1)) = 50/(v - 1) minuten over
elke minuut verbruikt hij  kv2  calorieën, dus dat is in totaal  kv2 • 50/(v - 1)  calorieën
       
  b.
    C ' = 0
50kv2 - 100kv = 0
50kv(v - 2) = 0
v = 0  ∨  v = 2
Bij een snelheid van 2 m/s verbruikt hij de minste calorieën.

De formule voor C wordt in zijn geheel met k vermenigvuldigd, en voor het maximaal zijn doet zo'n constante factor er niet toe.
       
19. a.
    B ' = 0
(8,4t - 20)(t2 - 8t + 50) - (4,2t2 - 20t + 210)(2t - 8) = 0
8,4t3 - 67,2t2 + 420t - 20t2 + 160t - 1000 - 8,4t3 + 33,6t2 + 40t2 - 160t - 420t + 1680 = 0
-13,6t2 + 680 = 0
13,6t2 = 680
t2 = 50
t = 7,07 geeft dan  B = 6,41
       
  b. B(0) = 210/50 = 4,2
B(∞) = 4,2/1 = 4,2
dus JA!		  
       
  c.
    B ' = 0
(8,4t - 20)(t2 - gt + 50) - (4,2t2 - 20t + 210)(2t - g) = 0
8,4t3 - 8,4gt2 + 420t - 20t2 + 20gt - 1000 - 8,4t3 + 4,2gt2 + 40t2 - 20gt - 420t + 210g = 0
t2(-8,4g - 20 + 4,2g + 40)  + t(420 + 20g -20g - 420) + (-1000 + 210g) = 0
t2(20 - 4,2g) + (-1000 + 210g) = 0
t2 • (20 - 4,2g) = 1000 - 210g
t2 •(20 - 4,2g) = 50(20 - 4,2g)
t2 = 50
t = √50
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)