h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek I, propositie 45.
       

Je kunt een parallellogram tekenen gelijk met een gegeven hoek,
dat gelijk is aan een gegeven vierhoek.

       
Neem een willekeurige vierhoek en een willekeurige hoek.

       
Verdeel de vierhoek door een diagonaal in twee driehoeken. (P1)

Maak parallellogram PQRS met de gegeven hoek bij P gelijk aan de ene driehoek.   (I-42)
Maak vervolgens parallellogram QTUR met de gegeven hoek bij Q en met een zijde RQ  (I-44)

De rode hoeken zijn gelijk.  (L1)
Tel bij beiden de blauwe hoek op.

Vanwege het eerste parallellogram is rood + blauw 180   (I-29)
Dan is bij punt Q ook rood + blauw = 180 
Dus is PQT een rechte lijn  (I-14)
       
We weten nu dat SR // PT
Dus de rode hoeken hiernaast zijn gelijk (Z-hoeken) (I-29)
Tel bij beiden de groene hoek op.

In parallellogram QTUR geldt dat rood + groen  = 180   (I-29)
Dus bij punr R is ook rood + groen  = 180.
Dus SRU is een rechte lijn. (I-14)

       
PS is gelijk en parallel aan QR,  en QR is gelijk en parallel aan TU, dus PS is gelijk en parallel aan TU  (I-34)(I-30)
Dus PTUS is een parallellogram.
De oppervlakte is gelijk aan die van de twee driehoeken, dus gelijk aan die van de vierhoek.

En op deze manier kun je zelfs van een willekeurige veelhoek een parallellogram construeren, door de veelhoek met diagonalen in allemaal driehoeken te verdelen:

       

       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)