© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Oplossen of Herleiden ?
- een soort van overzicht-
       
Het verschil daartussen is voor veel mensen niet zo duidelijk. Beiden lijken vooral te maken te hebben met  "rommelen met formules". 

En dat is ook zo!

Bij beiden zul je moeten werken met formules, met algebraοsche uitdrukkingen.
Het verschil tussen beiden zit hem in het einddoel. Ofwel:  "Wat wil je nou eigenlijk?"

• Bij oplossen ben je altijd op zoek naar hoe groot een x moet zijn. Oplossen betekent eigenlijk:  "Ra, ra wat is x?"
  Oplossen zal dus altijd eindigen met x = .....   (en dan staat daar een getal)
 

oplossen eindigt met  x = .....

       
• Bij herleiden ben je bezig een formule te veranderen in een andere (meestal eenvoudigere) formule.
   Herleiden zal dus nog steeds eindigen in waar het mee begon:   y = ....   (en dan staat daar iets met x-en)
       

herleiden  eindigt met  y = ....

       
Ik zal een paar soorten formules laten zien, en dan vooral wat betreft het verschil tussen oplossen en herleiden. Bij al die soort formules kun je in andere lessen op deze site veel uitgebreidere uitleg krijgen. In deze les gaat het alleen even om het verschil tussen beiden.

eerst nog even wat verwante andere termen:
       
• Vereenvoudig tot.....  is hetzelfde als herleid.
• Druk p uit in q betekent  "maak van de formule p = ...."
• Toon aan dat geldt....
• Schrijf p als functie van q  betekent   "maak van de formule p = ...."
       
1. Breuken.
 
OPLOSSEN.

Bij het oplossen van vergelijkingen met breuken doe ik eigenlijk altijd maar ιιn ding:
 
vermenigvuldig alles met de noemers!

Als je dat namelijk doet, dan verdwijnen al die noemers en hou je een vergelijking zonder breuken over.

voorbeeld:  Los op:   12/(x - 1)  + 2 =  x
Vermenigvuldig alles met  (x - 1):  
12 +  2(x - 1) = x(x - 1)
Dat geeft  x2 - 3x - 10 = 0  en dat is eenvoudig op te lossen (er komt trouwens uit  x = 5  of  x = -2)
 
In deze les kun  je er uitgebreider over lezen.

HERLEIDEN.

Bij het werken met breuken moet je twee dingen kunnen:
 
•  ιιn breuk veranderen.
  Dat kun je doen door de teller en de noemer van de breuk met hetzelfde te vermenigvuldigen.
 

   
  In deze les kun je er uitgebreider over lezen.
 
•  twee breuken samennemen.
  Dat mag als de noemers maar gelijk zijn, en die kun je gelijk krijgen door zoals hierboven de breuken ιιn voor ιιn aan te passen.

voorbeeld:  Schrijf  2/x + 8/(x - 1)  als ιιn breuk.
2/x = 2(x - 1)/x(x - 1)  en  8/(x- 1) = 8x/x(x - 1) 
Samen geeft dat  (2(x - 1) + 8x)/x(x - 1) 
en nou is het ιιn breuk.
Je kunt het nog vereenvoudigen tot (10x - 2)/x(x - 1) 

In deze les kun je er uitgebreider over lezen.

   
2. Exponenten.
       
OPLOSSEN.

Om een vergelijking met exponenten op te lossen zet je die exponent eerst alleen, en daarna gebruik je de hoofdregel:

gx = a      x = gloga

voorbeeld:   Los op  3 • 2x - 1 + 4 =  28
3 • 2x - 1 = 24   ⇒  2x - 1 = 8  ⇒
  x - 1 =  2log8 = 3  ⇒  x = 4

Heel soms lukt het om met de rekenregels hiernaast de vergelijking te schrijven als  g = gD . Als dat lukt mag je die machten weglaten

voorbeeld:  Los op:  2x- 5 = 4 • 0,5x  

2x-5 = 22 • (2-1)x 

2x - 5 = 22 - x 
en nou kan het weg:  x - 5 = 2 - x  geeft  x = 31/2  


In deze les kun je er uitgebreider over lezen.

HERLEIDEN.

Om vergelijkingen met exponenten te herleiden gebruik je de rekenregels voor machten:

ga • gb = ga + b 
(ga)b  = gab
g -a  = 
1/ga

voorbeeld:  Schrijf  y = 4 • 32x + 1  als  y = B • gx
y =
4 • 32x + 1 = 4 • 32x • 31 = 12 • 32x =
= 12 • (32)x = 12 • 9x

In deze les kun je er uitgebreider over lezen.

       
3.  Logaritmen.
       
OPLOSSEN.

Om een vergelijking met logaritmen op te lossen zet je die logaritme eerst alleen, en daarna gebruik je de hoofdregel:

gx = a      x = gloga

voorbeeld:   Los op:   4 • 2log(x + 2) = 12
2log(x + 2) = 3 ⇒  x + 2 = 32 = 9 ⇒  x = 7

Heel soms lukt het om met de rekenregels hiernaast de vergelijking te schrijven als  log = logD . Als dat lukt mag je die logaritmen weglaten.

voorbeeld:    Los op:  3logx = 2 + 3log(x + 1)
3logx = 3log9 + 3log(x + 1) 

3logx = 3log9(x + 1) 

en nou kan het weg:
x = 9x + 1 
  8x = -1 ⇒  x = -1/8.

In deze les kun je er uitgebreider over lezen.

HERLEIDEN.

Om vergelijkingen met logaritmen te herleiden gebruik je de rekenregels voor logaritmen:

loga + logb = log(ab) 
p •
loga = log(ap)
a = glog ga

voorbeeld:  
Schrijf   y = 2 • 5logx + 3  als ιιn logaritme. 
2 • 5logx + 3  = 5logx2 + 5log53  = 5log(125x2)
 

In deze les kun je er uitgebreider over lezen.

 

       
4.  Machten  (en dus ook wortels, immers dat is "tot-de-macht-half")
       
OPLOSSEN.

Om een vergelijking met machten op te lossen zet je die macht eerst alleen, en daarna gebruik je de hoofdregel:

xn = p      x = p1/n

N.B. Denk erom dat er bij even positieve waarden van n ook een negatieve oplossing  x = -p1/n   is!

v
oorbeeld:   Los op:  3 • (x + 2)5 = 6
(x + 2)5 = 2  ⇒ 
x
+ 2  = 21/5  ⇒
x = 21/5 - 2  (≈ -0,85)

In deze les kun je er uitgebreider over lezen.

HERLEIDEN.

Om een vergelijkingen met machten te vereenvoudigen gebruik je de rekenregels voor machten:

ga • gb = ga + b  
(ga)b = gab 
g
-a  1/g
ap
• bp = (ab)p

voorbeeld:   Schrijf  y = (2x)3 • 1/x  als  a • xb
y = 23 • x3 • (x)-1
y = 8x3 • (x0,5)-1
y = 8x3 • x-0,5
y = 8x2,5

In deze les kun je er uitgebreider over lezen.

   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)