Breuken.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Het is eigenlijk allemaal heel eenvoudig met die algebra: als je weet hoe het met getallen moet, dan doe je het met letters gewoon precies zo!

Gewoon na-apen!

We zullen drie bewerkingen met breuken gaan bekijken, en elke keer wat er gebeurt met getallen precies nadoen met letters. Die bewerkingen zijn vermenigvuldigen, optellen, en vereenvoudigen.

 

1.  Vermenigvuldigen van breuken.
Op de basisschool was het simpel:  als je breuken vermenigvuldigt moet je doen "teller × teller en  noemer × noemer".

vermenigvuldigen: 

teller × teller
noemer × noemer
 

Dat betekent bijvoorbeeld dat:

Nou, laten we dat dan ook maar precies zo met letters doen:


Vooral die laatste is interessant; daar zie je dat een "gewone" letter in een blokje waar ook breuken in staan eigenlijk hoort bij de teller van die breuken. Dat kun je snappen door er  "éénde"  van te maken, en dan komt dat gewone getal dus bij de teller terecht.  Net zoals 5 • 2/7 = 10/7  is ook  4 • 2/x = 8/x  en  8 • x/3 = 8x/3
   

Een gewoon getal is eigenlijk een TELLER (de noemer is 1)

   
Dat zul je vooral vaak gebruiken als er ergens breuken tussen haakjes staan. Hier zie je een voorbeeld met onze "blokjesmethode". We bekijken de uitdrukking   5 • (x + 6/x). Let op dat die 5 daar voor de haakjes bij die teller 6 terecht komt!!!

1. Schrijf zonder haakjes, en vereenvoudig zoveel mogelijk:
a. d.
b. e.
c. f.
 
2.  Vereenvoudigen van breuken.
Kijk naar het plaatje hiernaast. Het illustreert wat er het vaakst fout gaat met het vereenvoudigen van breuken. Dat is 

De ziekte van het "wegstrepen"!!

Wegstrepen is ook helemaal niet het juiste woord voor wat er gebeurt bij het vereenvoudigen van breuken. Hier staat hoe een breuk eigenlijk wordt vereenvoudigd:

In de tweede stap blijkt dat zowel in de teller als in de noemer "keer 16" staat. In de derde stap zie je dat je die "keer 16" en "keer 16" bij elkaar mag zetten. 

Maar dat mag alléén omdat het vermenigvuldigen is!!!!
In de laatste stap is tenslotte gebruikt dat "keer 16" in de teller en "keer 16" in de noemer elkaar opheffen.

Drie afgrijselijke fouten die met breuken en letters gemaakt worden:



Ieieieieieieiek!!
Ten strengste verboden:  hier staat immers geen "KEER"?? NERGENS!!!



Aiaiaiaiaiaai!!!!
Nu staat er bij de x wél KEER, maar door die +5 erachter staat daar in de noemer toch weer een blokje (x • 3)  PLUS een ander blokje (5)  en dus toch niet KEER!



YYYessssss!!!
Eindelijk staat er in de noemer een blokje (5) KEER een ander blokje (x + 3). Dit mag.
Soms kun je door te ontbinden in factoren er zelf voor zorgen dat er blokjes KEER elkaar komen te staan. De volgende voorbeeldjes zullen dat hopelijk duidelijk maken.
voorbeeld 1.

voorbeeld 2.

2. Vereenvoudig zo veel mogelijk:
a. d.
b. e.
c. f.
   
Waarschuwing:  Kijk uit met letters wegstrepen!

Het gevaar van het wegstrepen van letters is, dat je niet door nul mag delen.
   
3.  Optellen van breuken.
Op de basisschool heb je waarschijnlijk al geleerd dat je breuken die je wilt optellen (of aftrekken) eerst gelijknamig moet maken. Dat betekent dat je de noemers gelijk moet maken, en dat kun je doen door teller en noemer van een breuk op een handige manier met het zelfde getal te vermenigvuldigen.

Met getallen gaat het zó:



En, dat zul je intussen al wel door hebben, met letters gaat het precies hetzelfde! Kijk maar:

En ook breuken en "gewone"getallen kun je bij elkaar optellen, als je maar bedenkt dan zo'n gewoon getal eigenlijk ook een breuk is, maar met noemer 1. Dat zagen we hierboven trouwens ook al bij het vermenigvuldigen van breuken.

3. Schrijf de volgende uitdrukkingen als één breuk en zo eenvoudig mogelijk:
a. d.
b. e.
c. f.

             
4. Ik heb net aan de brugklas uitgelegd hoe je breuken eerst gelijknamig moet maken als je ze wilt optellen Maar dan steekt een klein meisje met blond haar en sproeten op de voorste bank haar vingertje op.
"Nee meneer, dat hoeft helemaal niet hoor, want ik zit op voetbal!"
Ik kijk haar niet-begrijpend aan, dus ze gaat door:
"Zaterdag heb ik strafschoppen genomen, en toen nam ik 12 strafschoppen en ik scoorde er 5. Dat is dus 5/12 deel.
Zondag nam ik weer strafschoppen en toen nam ik er 9 en ik scoorde er 2. Dat is dus 2/9 deel
".

Ik knik instemmend.  Ze gaat meedogenloos door...
 

  "Maar als ik de resultaten van het hele weekend bij elkaar op wil tellen, dan heb ik in totaal nu 12 + 9 = 21 strafschoppen genomen, en daarvan heb ik er 5 + 2 = 7 gescoord. Dat is samengenomen een score van 7/21 deel. Dus 5/12 + 2/9 = 7/21 ", zegt ze triomfantelijk...

Wat moet ik tegen haar zeggen?  Wat zou jij tegen haar zeggen.....?

   
5. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2014.

Sylvia woont 10 km van school. Zij fietst elke schooldag. We gaan ervan uit dat als er geen wind is, haar snelheid constant 20  km/u is. Haar totale reistijd is op zo'n schooldag dus 1 uur.
Meestal waait het echter. We veronderstellen dat Sylvia altijd wind mee heeft op de heenweg en wind tegen op de terugweg en dat de wind de hele dag constant is. Dan is Sylvia's snelheid op de heenweg 20 + w  km/u en op de terugweg 20 - w  km/u. Hierbij geldt 0 ≤ w < 20.

Sylvia's totale reistijd in uren wordt gegeven door de formule:
 

  De formule voor T kan worden gevonden door een formule voor de reistijd voor de heenweg en een formule voor de reistijd voor de terugweg op te stellen en deze formules bij elkaar op te tellen.
Stel deze formules op en toon daarmee aan dat de bovenstaande formule voor T juist is.
   
   
4.  Mintekens bij breuken.
   
Als er ergens in een breuk een minteken staat, dan doet het er niet veel toe of dat in de teller of in de noemer is.
Deze breuken zijn alle drie gelijk:

   
De fouten worden meestal gemaakt als er nog méér in de teller of de noemer staat.

Ik hoop dat je ziet dat dit verkeerd is:

OEIOEIOEIOEI!!!!!!
Dat moet natuurlijk zó:

 
     
 

merkwaardige producten
 
breukvergelijkingen
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)