Vergelijkingen met breuken.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Bij al dat werken met breuken moet je twee dingen goed in gedachten houden:
1. Je mag niet door nul delen
2. Een breuk is eigenlijk "gedeeld door" en dus ook n blokje (net als vermenigvuldigen)
Waarom mag ik niet door nul delen dan?

Dat ontdek je als je je bedenkt wat delen eigenlijk is.
Kijk:  6/3 = 2  maar waarom is dat zo? Omdat 3 2 gelijk is aan 6 natuurlijk!
En zo is  0/4 = 0 omdat  4 0 gelijk is aan nul.

Maar probeer het nou eens met delen door nul:
5/0 = ?  dan moet gelden  0 ? = 5  en dat kan niet, want nul keer iets is altijd nul.
Daarom bestaat 5/0 niet.

Nou is er normaal gesproken met breuken geen probleem: een opgave met nul in de noemer zul je niet krijgen.
Het wordt echter link als er een letter in de noemer staat!  Dan zou het maar zo kunnen dat die letter een getal wordt dat de noemer nul maakt. En dat mag niet, zoals we zojuist zagen. Dus zo'n letter in de noemer mag niet zomaar alles meer worden!
Goede wiskundigen kijken naar een opgave en bedenken zich eerst (voordat ze aan het werk gaan) wat de letter allemaal mag zijn.  Hier zijn er drie aan 't werk:

Ok, stel dat we alle blokjes zo veel mogelijk hebben vereenvoudigd.
Wat dan?
Hoe pakken we breuken aan?
Hoe raken we die rotdingen kwijt?

De grote truc is als volgt.
Weet je nog hoe we de vergelijking   3x = 12 oplosten? Er staan twee blokjes, dus het heen en weer schuiven van blokjes helpt niet meer. We moesten ervoor zorgen dat de 3 bij de x vandaan gehaald werd. En dat kon door beide kanten van de balans (het = - teken) te delen door 3. Dan kreeg je  x = 12/3 = 4.

Nou; met breuken gaat het bijna hetzelfde:
Denk aan de balansmethode:  "Als we beide kanten van het  = - teken hetzelfde doen, dan blijft de vergelijking kloppen".
Stel dat er staat x/4 =  20.  Als je die 4 daar weg wilt hebben dan kun je gewoon "keer 4" doen. Immers dan heb je x/4 4 en dat is gelijk aan x. Want als je een getal deelt door 4 en het daarna weer keer 4 doet dan komt het getal zelf er weer uit.

Maar nou komt het:  Als je zo graag "keer 4" wilt doen dan moet je wel lle blokjes van de vergelijking keer 4 doen!!!!
In dit geval moet 20 dus k keer 4. Dat geeft dan  x = 20 4 = 80

Als er mr blokjes zijn?
Dan moet je lle blokjes keer 4 doen!
Kijk maar: stel dat je een boel blokjes hebt met ntje x/4. Dan doe je beide kanten van de balans keer 4.
MAAR DAN WEL DE HELE SCHAAL KEER 4!!!!!

Aan de blauwe pijlen kun je zien dat je dan ELK blokje keer 4 moet doen.

Voorbeeld 1.
Los op    x + 2 + x2 = x/4 + 72

Alle blokjes keer 4 geeft  4x + 8 + 4x2 = x + 288
En dat is een oude bekende, los hem zelf maar op met de ABC-formule. (er komt uit x = 8  of  x = -8,75)

Voorbeeld 2.
Los op:   2x - 3 = 4/(x - 1) + 1

Op de eerste plaats merken we op dat x niet 1 mag zijn: dan staat er delen door nul.
Alle blokjes vermenigvuldigen met (x - 1)  geeft   2x (x - 1) - 3 (x - 1) = 4 + 1 (x - 1)
En nu is 't weer een som zonder breuken. Werk de haakjes maar weg en los hem op (er komt uit x = 3  of x = 0)
Nog wel even controleren dat er niet  x = 1 uitkomt, want dat mag niet!

Voorbeeld 3.
Los op:  8/(2x - 1) + 2 = 10/x

Wauw:  TWEE breuken maar liefst  We zien meteen dat x niet  0,5 mag zijn (dan is namelijk 2x - 1 = 0) en niet  0.
Laten we de breuken n voor n wegwerken.
Eerst maar elk blokje vermenigvuldigen met (2x - 1).
Dat geeft   8 + 2(2x - 1) = 10/x (2x - 1)
Links kunnen we haakjes weghalen:  8 + 4x - 2 = 10/x (2x - 1)
Nu elk blokje vermenigvuldigen met  x:   8x + 4x x  - 2x = 10 (2x - 1)
rechts ook de haakjes wegwerken en er staat  8x + 4x2 - 2x = 20x - 10

In onze "blokjestaal"  staat dat hiernaast.
De rest is eenvoudig (oplossingen x = 2,5  of x = 1)

Laatste probleem:  Breuken binnen de haakjes
Nu zul je eerst de haakjes moeten wegwerken voordat je de breuken laat verdwijnen.
Het volgende voorbeeld spreekt waarschijnlijk wel voor zich:

Los op:  5(x + 6/x) = 8x + 1.

Het gaat als hiernaast.

In de laatste stap is dus elk blokje vermenigvuldigd met x. Had je eraan gedacht dat x niet gelijk aan 0 mag zijn....?

(de oplossing is trouwens x = 3  of x = -31/3)

   
   

werken met breuken

   

breuken in breuken

   
 OPGAVEN
1. Los op:
a.

x = 2

f.

x = -2 of x = 4

b.

x = 3

g.

x = -1/3 of x = 1

c.

x = 4

h.

x = 1

d.

x = 1/2 of x = -1/2

i.

x = 1/2 of x = -1/2

e.

x = 4

j.

x = 1/2 of x = -1/2

           
2. Vader doet een bepaalde taak 9 dagen sneller dan zijn zoon.
Als vader en zoon de taak samen uitvoeren doen ze er 20 dagen over.
Hoe lang doet vader in zijn eentje over de taak?
   
3. Het gaat goed met de paashaas!
De laatste tijd is de vraag naar chocolade-eitjes enorm toegenomen. Het aantal kg chocolade blijkt te voldoen aan:
   
 

           
  Daarin is K in duizenden kilo's en t in jaren vanaf een bepaald beginjaar gerekend (t = 0)
In het jaar 2000 zal de paashaas precies 14500 kg nodig hebben. Welk jaartal hoort dan bij t = 0? Geef een algebrasche berekening.
         

1946

           
4. Het gaat net goed met de slagingspercentages van een middelbare school voor HAVO/VWO.
In de loop der jaren blijken er steeds minder leerlingen te slagen!!
De verontruste rector stelt de volgende twee formules op:
           
 

           
  H is het percentage slagers op HAVO, V het percentage slagers op VWO,  t de tijd in jaren met t = 0 in 2000

       
  a. Hoeveel procent is het aantal HAVO-slagers in 2005 kleiner dan het aantal VWO-slagers?
     

8,01%

  b. Als dit zo doorgaat, wat zal er dan uiteindelijk met de slagingspercentages gebeuren?
     

40% en 35%

  c. Bereken algebrasch in welk jaar het aantal slagers voor HAVO gelijk zal zijn aan het aantal slagers voor VWO.
         

2022-2023

           
5. Als iemand dood gaat, dan neemt vanaf het moment van zijn dood de lichaamstemperatuur af. In het begin zal die 37C zijn, en uiteindelijk zal die gelijk worden aan de temperatuur van de omgeving.
Die afkoeling wordt aardig omschreven door de functie:
 

           
  T is de temperatuur in C  en  t is de tijd in uren met t = 0 het tijdstip van overlijden. de constante c is gelijk aan de omgevingstemperatuur.

De politie vindt om 21:15 een lijk in water van 5C. De temperatuur van het lijk is op dat moment gelijk aan  10C

       
  a. Leg uit waarom in dit geval moet gelden dat c = 5
       
  b. Hoe laat is de moord gepleegd als het lijk direct na de moord in het water is gegooid?
     

15:51 uur

           
6. examenvraagstuk VWO wiskunde A, 2015.
 

Het drinken van alcohol benvloedt de rijvaardigheid negatief. Het alcoholpromillage in het bloed hangt af van de hoeveelheid genuttigde alcohol, van de tijd die verstreken is sinds het nuttigen van de alcohol en van persoonlijke factoren zoals lichaamsgewicht en geslacht. De hoeveelheid genuttigde alcohol drukken we uit in a, het aantal glazen alcoholische drank met een vaste hoeveelheid alcohol per glas.

Het bloedalcoholpromillage P voor vrouwen kunnen we berekenen met de volgende formule:

P = 13,33 a/G  -  0,15u

Hierbij is G het gewicht in kg en u het aantal uren na consumptie van de alcohol. In Nederland is het verboden om met een bloedalcoholpromillage van meer dan 0,5 aan het verkeer deel te nemen.

Een vrouw van 61 kg drinkt 5 glazen alcoholische drank.

           
  a. Bereken na hoeveel uur zij aan het verkeer mag deelnemen.
         

3,95 uur

  Sinds 2006 geldt voor nieuwe bestuurders een strengere norm: gedurende de eerste vijf jaar nadat je je rijbewijs hebt ontvangen, mag het bloedalcoholpromillage maximaal 0,2 zijn. Een vrouw van 70 kg heeft drie maanden haar rijbewijs. De nieuwe norm betekent dat ze minder alcoholische drank mag drinken als ze aan het verkeer wil gaan deelnemen dan in de situatie vr 2006.
           
  b. Bereken hoeveel glazen zij door de nieuwe norm minder mag nuttigen als ze direct na het nuttigen van de alcohol aan het verkeer wil deelnemen. Rond je antwoord af op halve glazen.
         

1,5

  Een vrouw die al meer dan vijf jaar haar rijbewijs heeft, wil twee uur voor zij gaat autorijden het voor haar maximaal toegestane aantal glazen alcohol drinken.
Volgens de formule hangt dit aantal a af van haar gewicht G.
           
  c. Stel voor deze situatie een formule op die a uitdrukt in G.
           
7. Gegeven is de vergelijking:
 

           
  a. Los de vergelijking op.  Druk de oplossing x uit in p.
           
  b. Voor welke p heeft deze vergelijking geen oplossing?
           
         

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)