Rekenen met Logaritmen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
De vraag van vandaag:
Wat moeten we doen als er meerdere logaritmen in een opgave of vergelijking staan?
We zullen een paar gevallen bekijken:
glog a + glog b =  ?
Omdat je g log weg kunt krijgen door de inverse g-tot-de-macht erop toe te passen gaan we maar eens proberen beide kante van deze vergelijking g-tot-de-macht te nemen:

Bij de laatste stap hebben we gebruikt dat g-tot-de-macht en  g-log  elkaar opheffen, daarom komt er a • b uit.
Maar wat staat hier nou eigenlijk?
Er staat   g? = a • b  maar daaruit volgt dan weer  ? = glog(a • b)
maar dat ?  was  gloga + glogb, dus we vinden de formule: 
gloga  + glogb = glog (ab)
1. Los op:
             
a. 4logx + 4log2 = 2

  8 

d. 2log(2x) + 2log(x - 4) = 6

  8 

b. 3logx + 3log(3x) = 11 

  243 

e. 0,1log(x - 1) = 1 + 0,1logx

  0,5 + 0,5√1,4
c. 0,5log(x + 1) + 0,5log(x) = -4

 -1 + 0,5√65
f. 5log(1/x) + 5log(x2) = 2

  25 

 
2. Zoals je misschien wel weet is  8! (spreek uit:  "acht faculteit") gelijk aan  8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 40320
De rekenmachine heeft er zelfs een knop voor:  MATH - PRB - !
Het probleem is echter dat de grootste faculteit die je kunt uitrekenen gelijk is aan 69! (dat is  69 • 68 • ...• 1). Daarna worden de antwoorden groter dan 10100  en dat kan onze rekenmachine niet aan.

Als je je realiseert dat  70! = 70 • 69 • ... • 1 = 70 • 69!  dan kun je 70! uitrekenen door logaritmen te gebruiken:  log(70!) = log(70 • 69!) = log(70) + log(69!) = 1,84509804 + 98,233307 = 100,078405
Dus 70! = 10100,0789405 = 10100 • 100,0789405 = 1,197 • 10100  

Bereken op deze manier 90!

1,486 • 10138
 
Er zijn nog meer regels om te rekenen met logaritmen af te leiden. Hier volgen de regels; als je er zin in hebt kijk dan vooral naar de bewijzen.

gloga - glogb  =  glog(a/b)

glog an  =  n • glog a

3. Schrijf als één logaritme:
             
a. 2log3 + 4 • 2log5 =

2log1875
e. 0,5log(x2) + 2 • 0,5log(2x) =

0,5log(4x4)
b. 2 • 3logx + 3log8 =

3log8x2
f. - 4logx - 4log(x2) =

4log(1/x3)
c. 5log(x + 1) - 5log(x) =

5log((x+1)/x)
g. 4 • 2log(x-1) + 2 • 2log(x2) =

  0 

d. 3 • 3logx + 2 • 3log4 =

3log16x3
h. 2 • 3log(x + 1) + 3log(x) - 3log0,5 =
3log(2x3+4x2+2x)

 
4. Bereken op de manier van vraag 2 hoe groot  3250  is.

1,907•10119
5. a. Toon aan dat:    -glogx = glog(1/x)
b. Toon aan dat de grafiek van   f(x) = glog(ax) - glog(bx)   een rechte lijn is.
6. Los algebraïsch op:
             
a. 2 • 3logx = 3log(x + 2)

x = 2
c. 5logx - 5log2 = 3

x= 250
b. 4 • 2logx = 2logx + 3

x = 2
d. 0,5log(3x) = 2 + 0,5log3

x= 1/4
7. a. Maak een nieuwe grafiek van de grafiek van y = 2logx door de afstand tot de y-as acht keer zo groot te maken. Deze nieuwe grafiek kun je ook krijgen door de oorspronkelijke grafiek omlaag te schuiven.
Over welke afstand?
   

  3 

  b. De grafiek van y =  3logx wordt over een afstand van 2 omhoog geschoven.
Deze nieuwe grafiek kun je ook verkrijgen door van de oorspronkelijke grafiek de afstand tot de y-as te veranderen. Hoe moet je die afstand veranderen?
   

1/9 maken
     
8. a. Bereken algebraïsch a als gegeven is dat  alog(225) - 2  • alog(5) = 9log(81) 
   

  a = 3 

  b. Als log x = 1/2 en  log y = 6 bereken dan algebraïsch  log(100 • x4/√y)
   

  1 

     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)