Hogere Machten

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Als ιιn letter vaker voorkomt binnen een blokje kunnen we het eenvoudiger schrijven. We zagen dat al bij kwadraten, die kon je schrijven als 5 • 5 = 52.
Een logische uitbreiding is dan dat je 5 • 5 • 5  schrijft als 53  en zo verder:
52 = 5 • 5
53 = 5 • 5 • 5
54 = 5 • 5 • 5 • 5
55 = 5 • 5 • 5 • 5 • 5

enzovoorts.
Deze manier van noteren  noemen we machten.
Spreek 53  uit als  "5 tot de macht 3"  of  "5 tot de derde macht"  of nog korter:  "5 tot de derde".
Kwadraat is dus hetzelfde als "tot-de tweede".

Het getal dat op de grond staat heet heel toepasselijk het "grondtal" en dat getal in de lucht (dat zegt hoevιιl er van het grondtal moeten zijn) heet de exponent.

Haal het dus niet door elkaar:    
34 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81    en    43 = 4 • 4 • 4 = 64.

En met letters gaat het uiteraard precies hetzelfde als met cijfers:

x2 = x • x
x3 = x • x • x
x4 = x • x • x • x
x5 = x • x • x • x • x

enzovoorts

Zo kun je erg grote blokjes aardig kleiner maken.
Neem bijvoorbeeld  p • p • q • p • q. 
Omdat de volgorde binnen ιιn blokje er niet toe doet mag je dat ook wel schrijven als  p • p • p • q • q
Maar dan kun je die p's en q's met machten korter schrijven:  p3 • q2 

En dan is   a • a • a • b • b • b • b   met machten geschreven gelijk aan  a3b4 .
En  2 • x • y • x • x • y • y • 5 • y • y  is met machten geschreven gelijk aan  10x3 y5 

Gewone getallen erbij

Als je in ιιn blokje zowel machten als "gewone" getallen hebt staan, dan moeten de machten altijd eerst!

 

machtsverheffen gaat vσσr!!
   
Dat betekent bijvoorbeeld als er staat  4 • 53  dan moet je eerst 53 uitrekenen  (is 125) en dan met 4 vermenigvuldigen (500). Die tot-de-derde hoort dus alleen bij die 5.
Met letters erbij betekent dat:  als er staat  2x4  dan hoort die tot-de-vierde alleen bij de x. Je moet dus niet 24 doen.
Als je toch graag wilt opschrijven 2x • 2x • 2x • 2x  dan moet dat dus als  (2x)4 . Door die haakjes hoort de macht nu ook bij de 2.
   
Maakt de volgorde nog uit?

Doet het er nog iets toe of we schrijven  8a2b3  of  8b3a2  ???

Het antwoord ligt voor de hand natuurlijk: net zoals het met getallen geen moer uitmaakt of je nou 2 • 3 of 3 • 2 opschrijft doet het er met letters ook niet toe.  ab  is precies hetzelfde als ba,  en  4p2b is precies hetzelfde als 4bp2.
De enige afspraak is eigenlijk om de cijfers vooraan te zetten en de letters erachter. Sommige mensen vinden de alfabetische volgorde "netter" maar het maakt in wezen niets uit.
1. Schrijf de volgende uitdrukkingen zo eenvoudig mogelijk op met machten.
a. 2 • x • x • 4 • x • y • y

8x3y2
e. 4 • m • m • k • 3 • 2 • m • m

24m4k
b. 4a • -2a • b • 6 • b • b

-48a2b3
f. x • x • x + x • 3 • x • x • x

x3 + 3x4
c. 2 • p • p - 4 • p • p • p • p

2p2 - 4p4
g. -2 • y • 3 • y • -4 • 2 • y  

48y3
d. -3 • a • b • a • a • -2

6a3b
h. 3c • 2c • 2 • c • d • 6d

72c3d2
Machten met elkaar vermenigvuldigen.
Als je machten van het zelfde getal met elkaar vermenigvuldigt, dan levert dat meteen een eenvoudig regeltje op.
Neem bijvoorbeeld  x3 • x4 . Als je dat helemaal uitschrijft en dan weer korter maakt krijg je:
x3 • x4 =  (x • x • x) • (x • x • x • x)  =  x • x • x • x • x • x • x =  x7

Zie je wat er eigenlijk gebeurt? De machten 3 en 4 mag je gewoon optellen! Immers die macht 3 zegt dat er 3 x-en staan en die macht 4 zegt dat er 4 x-en staan, dus er staan dan samen 3 + 4 = 7 x-en.
In het algemeen geldt:

xa • xb =  xa + b
Dat heeft gevolgen voor het rekenen met blokjes en vereenvoudigen van blokjes.
De volgende voorbeelden zullen dat hopelijk duidelijk maken.

voorbeeld 1.
x2 • (2x3 - 5x)  =  x2 • 2x3  - x2 • 5x  =  2x5 - 5x3

voorbeeld 2.
2a2 • (4a4 - 3a2b) = 2a2 • 4a4  - 2a2 • 3a2b =  8a6 - 6a4b

   
 
       
   

kwadraten

    

ontbinden in factoren
   
OPGAVEN
2. Schrijf zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk:
a. p4 (3p2 + 2p)

3p6 + 2p5
e. 3a3(a2 + 2a)

3a5 + 6a4
b. 2b2 • (5a - 3b6)

10ab2 - 6b8
f. -2x5(-x2 - x6)

2x7 + 2x11
c. x4 (x + x2 + x3)

x5 + x6 + x7
g. 3p2 (5p3 - 6p4)

15p5 - 18p6
d. y2 (2y3 - 3y2)

2y5 - 3y4
h. p3 • (2 - p3)

2p3 - p6
3. Schrijf zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk:
a. x2(2x2 + x) + 3x4

5x4 + x3
e. 3b6 + 2b3(b3 - b) - 4b4

5b6 - 6b4
b. a2 (5 - 4a2 ) - 3a2 

2a2 - 4a4
f. -2p2 - p(5p2 + 6p)

-5p3 - 8p2
c. 4y3 + y(2y2 - y3)

6y3 - y4
g. 3c2(4c3 - c) - 2c5 + 3c3 

10c5
d. 6p5 - p2 (2p + 2p3)

4p5 - 2p3
h. 2q • 2q2 + 3q(q2 - 2q)

7q3 - 6q2

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)