Ontbinden (1)

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Ontbinden in factoren betekent:  "Schrijven als vermenigvuldiging" en dat gaan we doen door haakjes IN een vergelijking te zetten.

"WAAAAT?"  hoor ik je al denken; "Wat is dit voor flauwekul? Eerst moesten we met veel pijn en moeite leren om haakjes weg te werken, en nou zeker weer haakjes terugzetten??? Waar is dat nou weer goed voor? Werkverschaffing?

Het zit hem allemaal in de volgende eenvoudige vergelijking:

A B = 0
In plaats van die A of die B mag er van alles staan. Hier staat dus eigenlijk `twee dingen met elkaar vermenigvuldigd geven als resultaat NUL.
De oplossing is eenvoudig: als twee getallen met elkaar vermenigvuldigd NUL opleveren, dan moet minstens n van beide 0 zijn. Dus in dit geval is de oplossing  A = 0  of  B = 0.  (met "of" bedoelen we in dit geval dus  f de n,  f de ander,  f allebei.  Conclusie:

A B = 0  ⇒  A = 0  of  B = 0

Hiernaast zie je hoe n moeilijke vergelijking op deze manier gesplitst kan worden in twee (misschien) makkelijkere vergelijkingen.

Voorbeeld:

x (x3 - 8) = 0  kun je splitsen in 
x
= 0  of 
x
3 - 8 = 0  en x3 - 8 = 0   geeft  x3 = 8  dus  x = 2

Als je de haakjes in de oorspronkelijke opgave zou wegwerken krijg je  x4 - 8x = 0  en die is veel en veel moeilijker op te lossen.

Conclusie:  Soms kun je vergelijkingen mt haakjes wel oplossen, en dezelfde znder haakjes niet! Elke keer als er mt haakjes alleen maar blokjes met elkaar vermenigvuldigd staan kunnen we ons probleem splitsen in eenvoudigere problemen. Denk erom dat dit alleen werkt als er   "= 0"  staat!!

Overtuigd van het feit dat haakjes best handig kunnen zijn?

Mooi.

Laten we daarom de zaak omdraaien:
Stel dat de vergelijking is   x4 - 8x = 0,  hadden we er dan misschien haakjes n kunnen zetten?????

Het antwoord zal je niet verbazen:  Ja, natuurlijk kan dat!
Dat kun je het beste zien door je te realiseren wat er gebeurde bij het wegwerken van de haakjes. Bij bovenstaand voorbeeld zou dat er z hebben uitgezien:

De grote vraag is dus:  "Is dit proces om te keren?" ofwel:  "Kunnen we blauwe pijlen ook in omgekeerde richting volgen?"
En dat is vrij makkelijk:  de x vr de haakjes heeft zich verdeeld over alle blokjes erbinnen. Daarom staat er in elk blokje aan de rechterkant (minstens) een x. Maar dan kunnen we vanaf al die x-en ook de pijlen wel weer terug nemen en er weer haakjes inzetten:

Wat je dus moet doen als je een vergelijking zoals die aan de linkerkant ziet, is je afvragen: "Kan ik ook 'dubbelen' vinden:  dingen die in lle blokjes staan?" 
 

Als dat lukt (zoals met de x hierboven) dan kun je die dubbelen uit alle blokjes halen en vr de haakjes zetten.
Wat er overblijft staat dan nog binnen de haakjes.

Dat dubbelen zoeken kan met letters, maar ook met getallen.

Hier zijn een paar voorbeelden.

   
voorbeeld 1.

2x4 + 5x7 
x4 is dubbel, kijk maar:
2x4 + 5x4  x3
haal x4 buiten de haakjes:
x4 (2 + 5x3)
voorbeeld 2.

2x2 - 4x3   heeft als dubbele  2x2, kijk maar:
2x2  1 - 2x2  2x
haal 2x2 buiten de haakjes:
2x2 (1 - 2x)

voorbeeld 3.

12x3 - 8x6 + 24x4
4x3 is dubbel, kijk maar: 
4x3  3  - 4x 2x3  + 4x3 6x
haal 4x3 buiten de haakjes:
4x3 (3 - 2x3 + 6x)

 

 

 
               
   

hogere machten

   

meer haakjes

               
OPGAVEN
1. Ontbind in factoren:
a. x6 - 2x4

x4(x2 - 2)

f. 4x7 + 8x5 + 12x8

x5(x2 + 2 + 3x3)

b. 3x5 + 6x4  

3x4(x + 2)

g. 9x5 + 9x4 - 18x7

9x4(x + 1 - 2x3)

c. 25x5 - 5x2

5x2(5x3 - 1)

h. 12x - 3x4

3x(4 - x3)

d. 8x6 - 12x4 + 4x5

4x4(2x2 - 3 + x

i 26x5 - 39x8

13x5(2 - 3x3)

e. x5  + 3x6 - 2x2

x2(x3 + 3x4 - 2)

j. 2x10 - 4x3 - 14x4

2x3(x7 - 2 - 7x)

2. Ontbind in factoren:
a. 21xy2 + 12x3y

3xy(7y + 4x2)

d. 16p4q2 - 8qp2

8p2q(2p2q - 1)

b. 14a3b5 - 2a3b4

2a3b4(7b - 1)

e. 2a2b2c2 - 8ab2c3

2ab2c2(a - 4c)

c. 4pq6 - 6p2q2

2pq2(2q4 - 3p)

f. 12x2y2 + 6x3y4

6x2y2(2 + xy2)

               
3. Los algebrasch op:
               
  a. x2 + 4x = 0

  0  en  -4

c. p5 - 4p3 = 0

  0 en 2 en -2

  b. 2x3 -  4x2  = 0

  0  en  2

d. y2  =  6y

  0  en  6

               
               

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)