Kegelsneden.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
We hebben intussen de meetkundige krommen cirkel, parabool, ellips en hyperbool bekeken.
Deze krommen worden samen wel kegelsneden genoemd.
Waarom?
Nou kijk maar naar het volgende plaatje. Door een kegel op verschillende manieren te doorsnijden kun je elke van deze krommen tevoorschijn toveren:
   

   
Waarom is dat zo?
   
Kijk, dat die doorsneden ongeveer de vorm van een ellips, cirkel, parabool en hyperbool hebben, dat zie ik ook wel natuurlijk. Maar hoe weet je nou dat het precies die krommen zijn?
Goed, die cirkel die vind ik ook nog wel duidelijk, maar hoe weet je nou dat bijvoorbeeld zo'n ellipsachtig ding  niet ongeveer een ellips is, maar precies

Dat zit hem natuurlijk, zoals iedereen wel weet, in de bollen van Dandelin.

Tuurlijk, oh nee... dan snap ik het wel.....

Echt waar?  Toch leg ik het nog even uit.

Neem een kegel die doorsneden wordt door een vlak dat niet evenwijdig aan het grondvlak loopt, en dat zo'n "soort" ellips oplevert.
   

   
In het eerste plaatje staat zo'n vlak in een kegel.

Het tweede plaatje is het vooraanzicht daarvan. De rode stippellijnen die getekend zijn, zijn de bissectrices en de buitenbissectrices van driehoek PQT. Een bekende stelling daarvoor zegt, dat die door n punt gaan.
Omdat de bissectrices van een hoek gelijke afstanden tot de benen van een hoek hebben, heeft het bovenste rode punt gelijke afstanden tot TP, TQ en PQ, dus er is een cirkel met dat punt als middelpunt, die alle drie die lijnstukken raakt.
Hetzelfde geldt voor het onderste rode punt.

In het derde plaatje zijn die twee cirkels in het vooraanzicht getekend. De raakpunten hebben we (alvast?)  F1 en F2 genoemd......

Het vierde plaatje laat zien hoe dat er ruimtelijk uit ziet. Er zijn twee bollen met middelpunten M en N die het blauwe vlak raken. Die bollen heten trouwens....de bollen van Dandelin.
Nou heeft een bol de eigenschap dat, als je vanaf een punt P raaklijnen aan die bol tekent, dat die allemaal even lang zijn.
Die rode raaklijnen hiernaast zijn allemaal even lang.

Logisch lijkt me, omdat de hele figuur (bol inclusief raaklijnen) symmetrisch is ten opzichte van lijn PM.

Deze eigenschap kunnen we handig gebruiken bij de bollen van Dandelin.

Neem een willekeurig punt P op onze doorsnedefiguur (laten we het nog steeds geen ellips noemen). Dan raakt de lijn TP beide bollen in de punten Q en R.

Nu geldt PF1 = PQ  (eigenschap van de raaklijnen aan een bol)
Maar ook PF2 = PR (eigenschap van de raaklijnen aan een bol)

Dus PF1 + PF2 = PQ + PR = QR.
En dat laatste is constant, want dat hangt niet af van de plaats van P; alleen van beide bollen. Voor elk punt P vind je dezelfde waarde PQ.
Kortom: voor alle punten P geldt PF1 + PF2 = constant.
Maar dat was precies de eigenschap van een ellips.
Dus vormen die punten P een ellips met brandpunten F1 en F2.

De bewijzen voor een hyperbool  en een parabool gaan op ongeveer dezelfde manier.
Als je het niet gelooft, lees dan vooral het bewijs daarvan  hiernaast.
   
Vergelijkingen.

De algemene vergelijking van zo'n kegelsnede is:

   

ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f  = 0

   
Door geschikte a, b, c, d, e ente kiezen kun je alle mogelijk cirkels, ellipsen, parabolen en hyperbolen krijgen.
Dit is de meest algemene vorm van een tweedegraads vergelijking.

De term cxy  zorgt voor een draaiing van de kromme. Als je graag precies wilt weten hoe dat werkt moet je de verdieping hiernaast maar lezen. Voor de rest van deze les nemen we  c = 0
 
Hoe weet je welke kromme het is?
   
Dat heb je eigenlijk al in eerdere lessen geleerd.
Laten we het per soort kromme nog even langslopen. Als een soort samenvatting....
De rode draad is eigenlijk steeds:  "Kijk naar de factoren van x2 en y2"


1.  Cirkel.

Bij een cirkel zijn de factoren voor x2 en y2 gelijk. Zowel in grootte als in teken. In bovenstaande vergelijking  moet dus gelden a = b.
Dan ng is het niet altijd een cirkel: na kwadraat afsplitsen moet je natuurlijk wel op een r2 uitkomen die positief is!!

2.  Parabool.
Bij een parabool komen niet beide termen x2 n y2 voor in de vergelijking.  Er geldt  a = 0  ∨  b = 0.
Als a = 0 is het een parabool met symmetrieas horizontaal
Als b = 0 is het een parabool met symmetrieas verticaal.

3.  Ellips.
Bij een ellips hebben de termen met x2 en y2 het zelfde teken (beiden positief of beiden negatief), maar ze zijn niet even groot (dan is het immers een cirkel).

Maar dan moet daar rechts wel +1 staan en niet -1.
Aan de grootte van a en b kun je zien of de lange as (met de brandpunten) verticaal (a < b) of horizontaal (a < b) ligt.

4.  Hyperbool.
Bij een hyperbool hebben de termen met x2 en y2 een verschillend teken.
De rechterkant bepaalt of de brandpunten op een verticale lijn liggen (-1) of op een horizontale lijn (+1).
   
Beetje Oefenen?  
 
   
1. Geef van de volgende vergelijkingen aan of de grafiek ervan een cirkel, ellips, parabool, hyperbool of geen van allen betreft.
       
  a. 4 - 2x2 = 6x + y2

ellips

  b. 5x2 + 5y2 = x - 6

geen

  c. x2 + 4y = 6 - 3x

parabool

  d. 6x + x2 = y2 + 3

hyperbool

  e. 4x2 = 6y - y2

ellips

  f. x2 + 3y2 = 2y - 1

geen

  g. y2 + 4x = 6y - 1

parabool

  h. x2 + y + y2 = 4x + 10

cirkel

  i. x2 + 6y = 2y2 + 8

hyperbool

       
2. Geef van de vergelijkingen hierboven die een kegelsnede beschrijven aan hoe de ligging van die kegelsnede is.
       
3. Het  LATUS RECTUM  van een kegelsnede is een lijnstuk PQ dat door een brandpunt gaat en dat loodrecht op de (lange) as van die kegelsnede staat.
De punten P en Q liggen op de kegelsnede (het lijnstuk heet dan ook wel een koorde).
       
  a. De lengte van het latus rectum van een hyperbool of ellips is gelijk aan  L = 2b/a  
Toon dat aan.
       
  b. De eindpunten P en Q van het latus rectum van een parabool y2 = 4px en de top van die parabool liggen op een cirkel.  Geef de vergelijking van die cirkel.
   
       
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)