|
|||||
| 1+2 | a. | 4 - 2x2 = 6x + y2 2x2 + 6x + y2 - 4 = 0 2(x2 + 6x + 9 - 9) + y2 - 4 = 0 2(x + 3)2 + y2 = 22 (x + 3)²/11 + y²/22 = 1 het is een ELLIPS met a = √11 en b = √22 en c = √11 het middelpunt is (-3, 0) de brandpunten zijn (-3, ±√11) en de toppen (-3, ±√22) en (-3±√11, 0) |
|||
| b. | 5x2 + 5y2 =
x - 6 x2 + y2 - 1/5x + 6/5 = 0 x2 - 1/5x + 1/100 - 1/100 + y2 + 6/5 = 0 (x - 11/10)2 + y2 = -1,19 dat is GEEN kegelsnede. |
||||
| c. | x2 + 4y = 6 - 3x x2 + 3x = 6 - 4y x2 + 3x + 21/4 - 21/4 = -4y + 6 (x + 11/2)2 = -4y + 81/4 (x + 11/2)2 = -4(y - 33/16) Dat is een PARABOOL top is (-11/2, 33/16) c = 1 dus brandpunt is (-11/2, 17/16) |
||||
| d. | 6x + x2 = y2
+ 3 x2 + 6x + 9 - 9 - y2 = 3 (x + 3)2 - y2 = 12 (x + 3)²/12 - y²/12 = 1 Dat is een HYPERBOOL a = √12 en b = √12 en c = √24 middelpunt is (-3, 0), toppen zijn (-3±√12, 0) en brandpunten (-3±√24, 0) |
||||
| e. | 4x2 = 6y -
y2 4x2 + y2 - 6y + 9 - 9 = 0 4x2 + (y - 3)2 = 9 x²/2,25 + (y - 3)²/9 = 1 Dat is een ELLIPS. a = 1,5 en b = 3 en c = 2,5 middelpunt is (0, 3) en toppen (0, 6)(0, 0)(-1.5, 3)(1.5, 3) en brandpunten (0, 5.5) en (0, 0.50 |
||||
| f. | x2 + 3y2 = 2y
- 1 x2 + 3(y2 - 2/3y + 1/9 - 1/9) = -1 x2 + 3(y - 1/3)2 = -2/3 Dat is GEEN kegelsnede. |
||||
| g. | y2 + 4x = 6y - 1 y2 - 6y + 9 - 9 = -4x - 1 (y - 3)2 = -4x + 8 (y - 3)2 = -4(x + 2) Dat is een PARABOOL Top is (-2, 3) c = 1 dus brandpunt is (-2, 2) |
||||
| h. | x2 + y + y2
= 4x + 10 x2 - 4x + 4 - 4 + y2 + y + 1/4 - 1/4 = 10 (x - 2)2 + (y + 1/2)2 = 141/4 Dat is een CIRKEL. Middelpunt (2, -1/2) en straal √141/4 = 1/2√56 |
||||
| i. | x2 + 6y = 2y2
+ 8 x2 - 2y2 + 6y = 8 x2 - 2(y2 - 3y + 21/4 - 21/4) = 8 x2 - 2(y - 11/2)2 = 31/2 x²/3.5 - (y - 1.5)²/1.75 = 1 Dat is een HYPERBOOL. middelpunt is (0, 11/2) a = √31/2 en b = √13/4 en c = √51/4 toppen (±√31/2, 11/2) en brandpunten (±√51/4, 11/2) |
||||
| 3a. | Neem de ellips
x²/a²
+ y²/b²
= 1 met lange as 2a Heen brandpunt is (c, 0) en daar doorheen gaat de lijn x = c loodrecht op de as. Snijden met de ellips geeft c²/a² + y²/b² = 1 c2b2 + y2a2 = a2b2 y2a2 = a2b2 - c2b2 = b2(a2 - c2) = b4 (wamt als de lange as 2a is dan geldt a2 - c2 = b2) |
||||
 |
|||||
| de afstand tussen die y-waarden is dan 2 • b²/a en dat is inderdaad de gezochte L. | |||||
| 3b. | y2
= 4px heeft brandpunt (p, 0) daar doorheen loodrecht op de as staat de lijn x = p dat geeft y2 = 4p2 y = ±2p dus de snijpunten zijn P = (p, 2p) en Q = (p, -2p) De top is O = (0,0) Het middelpunt van de gezochte cirkel ligt op de middelloodlijn van PQ, dus op de x-as, dus het is het punt (m, 0) De afstand van het middelpunt tot de oorsprong moet gelijk azijn aan de afstand tot P, dus m = √((m - p)2 + (2p)2 ) m = √(m2 - 2pm + p2 + 4p2) m2 = m2 - 2pm + 5p2 2pm = 5p2 m = 21/2p dus het middelpunt van de gezochte cirkel is M = (21/2p, 0) de straal is m = 21/2p De vergelijking is dan (x - 21/2p)2 + y2 = 61/4p2 |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||