h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1+2 a. 4 - 2x2 = 6x + y2
2x2 + 6x + y2 - 4 = 0
2(x2 + 6x + 9 - 9) + y2 - 4 = 0
2(x + 3)2 + y2 = 22
(x + 3)/11 + y/22 = 1
het is een ELLIPS met a = 11 en b = 22 en c11
het middelpunt is (-3, 0)
de brandpunten zijn (-3, 11) en de toppen (-3, 22) en (-311, 0)
       
  b. 5x2 + 5y2 = x - 6
x2 + y2 - 1/5x + 6/5 = 0
x2 - 1/5x + 1/100 - 1/100 + y2 + 6/5 = 0
(x - 11/10)2 + y2 = -1,19  dat is GEEN kegelsnede.
       
  c. x2 + 4y = 6 - 3x
x
2 + 3x = 6 - 4y
x
2 + 3x + 21/4 - 21/4 = -4y + 6
(x + 11/2)2 = -4y + 81/4
(x + 11/2)2 = -4(y - 33/16)
Dat is een PARABOOL
top is  (-11/2, 33/16)
c = 1 dus brandpunt is  (-11/2, 17/16)
       
  d. 6x + x2 = y2 + 3
x
2 + 6x + 9 - 9 - y2 = 3
(x + 3)2 - y2 = 12
(x + 3)/12 - y/12 = 1
Dat is een HYPERBOOL
a = 12 en  b = 12  en  c = 24
middelpunt is  (-3, 0),  toppen zijn  (-312, 0)  en brandpunten  (-324, 0)
       
  e. 4x2 = 6y - y2 
4x2 + y2 - 6y + 9 - 9 = 0
4x2 + (y - 3)2 = 9
x/2,25 + (y - 3)/9 = 1
Dat is een ELLIPS.
a = 1,5 en b = 3 en c = 2,5
middelpunt is  (0, 3) en toppen  (0, 6)(0, 0)(-1.5, 3)(1.5, 3)  en brandpunten (0, 5.5) en (0, 0.50 
       
  f. x2 + 3y2 = 2y - 1
x2 + 3(y2 - 2/3y + 1/9 - 1/9) = -1
x2 + 3(y - 1/3)2 = -2/3
Dat is GEEN kegelsnede.
 
       
  g. y2 + 4x = 6y - 1
y2 - 6y + 9 - 9 = -4x - 1
(y - 3)2 = -4x + 8
(y - 3)2 = -4(x + 2)
Dat is een PARABOOL
Top is  (-2, 3)   c = 1  dus  brandpunt is  (-2, 2)
 
       
  h. x2 + y + y2 = 4x + 10
x2 - 4x + 4 - 4 + y2 + y + 1/4 - 1/4 = 10
(x - 2)2 + (y + 1/2)2 = 141/4
Dat is een CIRKEL.
Middelpunt  (2, -1/2)  en straal  141/4 = 1/256
 
       
  i. x2 + 6y = 2y2 + 8
x2 - 2y2 + 6y = 8
x2 - 2(y2 - 3y + 21/4 - 21/4) = 8
x2 - 2(y - 11/2)2 = 31/2
x/3.5 - (y - 1.5)/1.75 = 1
Dat is een HYPERBOOL.
middelpunt is (0, 11/2)
a = 31/2 en b = 13/4 en c = 51/4
toppen (31/2, 11/2) en brandpunten (51/4, 11/2)
       
3a. Neem de ellips x/a + y/b = 1 met lange as 2a
Heen brandpunt is (c, 0) en daar doorheen gaat de lijn x = c loodrecht op de as.
Snijden met de ellips geeft  c/a + y/b = 1
c2b2 + y2a2 = a2b2
y
2a2 = a2b2 - c2b2 = b2(a2 - c2) = b4  (wamt als de lange as 2a is dan geldt  a2 - c2 = b2)
 
  de afstand tussen die y-waarden is dan 2 b/a en dat is inderdaad de gezochte L.
       
3b. y2 = 4px heeft brandpunt  (p, 0)
daar doorheen loodrecht op de as staat de lijn  x = p
dat geeft  y2 = 4p2
y = 2p  dus de snijpunten zijn   P = (p, 2p) en Q = (p, -2p)
De top is O = (0,0)
Het middelpunt van de gezochte cirkel ligt op de middelloodlijn van PQ, dus op de x-as, dus het is het punt  (m, 0)
De afstand van het middelpunt tot de oorsprong moet gelijk azijn aan de afstand tot P, 
dus  m = ((m - p)2 + (2p)2 )
m = (m2 - 2pm + p2 + 4p2)
m2 = m2 - 2pm + 5p2
2pm = 5p2
m = 21/2p  dus het middelpunt van de gezochte cirkel is  M = (21/2p, 0)
de straal is  m = 21/2p
De vergelijking is dan   (x - 21/2p)2 + y2 = 61/4p2
       
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)