|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|
Draai het assenstelsel. |
| |
Stel dat je een ellips hebt (of
hyperbool of parabool) die "scheef ligt. Dus waarvan de symmetrieassen
niet horizontaal of verticaal zijn.
Bijvoorbeeld zoals de ellips hiernaast, die over een hoek
j is gedraaid.
Je kunt dan natuurlijk gaan proberen de figuur terug te draaien, en
kijken wat de vergelijkingen worden.
Maar het is veel makkelijker om niet de figuur te draaien, maar je
assenstelsel!
Als je je x-as en y-as om de oorsprong draait over
diezelfde hoek j, dan krijg je een nieuwe
X-as en een Y-as.
Zoals je hieronder ziet ligt de ellips in dat nieuwe (X,Y)assenstelsel
wel "gewoon" met de lange as horizontaal. |
 |
| |
|
|
 |
| |
|
In de rechterfiguur kun je zien
wat het verband tussen x, y en X,Y
is.
Er geldt:
x = OC = OD - AB = OB • cosφ - PB • sinφ
= Xcosφ - Ysinφ
y = PC = PA + AC = PB • cosφ + BD = PB
• cosφ + OB • sinφ
= Ycosφ + Xsinφ.
Dus de volgende transformatieformules gelden:
| |
x =
Xcosφ
- Ysinφ
y =
Ycosφ + Xsinφ |
|
| |
Laten we eens kijken hoe de verschillende termen uit de vergelijking
ax2 + by2 + cxy + dx +
ey + f = 0 in dit nieuwe coördinatenstelsel worden.
| oude coördinaten |
nieuwe coördinaten |
| |
|
|
ax2
by2
cxy
dx
ey
f |
wordt
wordt
wordt
wordt
wordt
wordt |
a(Xcosφ - Ysinφ)2
= a(X2cos2φ
- 2XYcosφsinφ
+ Y2sin2φ)
b(Ycosφ + Xsinφ)2
= b(Y2cos2φ +
2XYcosφsinφ
+ X2sin2φ)
c(Xcosφ - Ysinφ)(Ycosφ
+ Xsinφ) = c(XYcos2φ
+ X2sinφcosφ
- Y2sinφcosφ
- XYsin2φ)
d(Xcosφ - Ysinφ)
e(Ycosφ + Xsinφ)
f |
| |
|
|
Aan de rechterkant zijn alle termen met XY erin rood gemaakt
(vier stuks).
Als we nu die
φ zodanig kiezen dat al
die rode termen tegen elkaar wegvallen, dan staat er in onze nieuwe
vergelijking geen XY term meer.
Dat is zo als geldt:
- 2aXYcosφsinφ
+ 2bXYcosφsinφ
+ cXYcos2φ
- cXYsin2φ
= 0
⇒ (b - a) • 2sinφcosφ
+ c(cos2φ
- sin2φ)
= 0
⇒ (b - a) • sin2φ
+ c • cos2φ
= 0
⇒ tan(2φ)
= c/(a - b)
| |
|
Als je kiest tan(2φ)
= c/(a - b)
dan verdwijnt de term cxy uit je
vergelijking |
|
| |
|
| (Je kunt deze formule natuurlijk
ook gebruiken om te zien welke hoek de symmetrieassen van je kromme in
je oorspronkelijke assenstelsel maken met horizontale x-as).
Voorbeeld 1.
Gegeven is de ellips 2x2 + 4y2
+ 3xy - 4x - 6 = 0
Welke hoek maakt de lange as van deze ellips met de x-as?
Als je alles deelt door 4 komt er onder x2 een groter
getal te staan dan onder y2 dus zonder de xy-term
lag de lange as horizontaal.
tan(2φ) = 3/(2 + 4) =
1/2
dus 2φ = 26,6º dus
φ = 13,3º.
De lange as maakt een hoek van (ongeveer) 13,3º met de x-as.
Voorbeeld 2.
Gegeven is de ellips 3x2 + 2y2
+ √3xy - 63 = 0
Geef een vergelijking van deze ellips in een assenstelsel waar de assen
van de ellips evenwijdig aan de coördinaatassen lopen. Bereken de lengte
van de assen.
tan(2φ)
= √3/(3-2) =
√3
dus 2φ
= 60º dus
φ
= 30º (en cosφ
= 1/2√3,
sinφ
= 1/2,
cos2φ
= 3/4,
sin2φ
= 1/4)
Neem nu de nieuwe coördinaten uit de tabel hierboven over, en laat
direct die rode stukken weg:
3(X2cos2φ
+Y2sin2φ)
+ 2(Y2cos2φ + X2sin2φ)
+ √3(X2sinφcosφ
- Y2sinφcosφ)
- 63 = 0
⇒ X2(3 •
3/4
+ 2 • 1/4
+ √3 • 1/2
• 1/2√3)
+ Y2(3 • 1/4
+ 2 • 3/4
- √3 • 1/2
• 1/2√3)
- 63 = 0
⇒ 31/2X2
+ 11/2Y2
= 63.
⇒ X²/18
+ Y²/14 = 1.
De lange as is dus √18
en de korte as is √14. |
| |
|
| |
|
|
OPGAVEN. |
| |
|
| 1. |
Gegeven is de ellips met vergelijking x2
+ xy + y2 - 12 = 0
Geef een vergelijking van deze ellips in een assenstelsel waar de assen
van de ellips evenwijdig aan de coördinaatassen lopen. Bereken de lengte
van de assen. |
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| 2. |
Een hyperbool heeft vergelijking 23x2
- 3y2 - 26xy√3
- 144 = 0
Bereken de afstand tussen de toppen van deze hyperbool |
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| 3. |
Gegeven is de parabool 8x + 3y2
= xy + 4
Welke hoek maakt de as van deze parabool met de x-as?
Geef je antwoord in één decimaal. |
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| 4. |
Een parabool heeft de top in de oorsprong en als
symmetrieas de lijn y = -0,5x
Geef een mogelijke vergelijking. |
| |
|
|
|
y√0,2
- x√0,8 = 0,2x2+
0,8xy + 0,8y2 |
|
| |
|
|
|
| 5. |
Als ax2 + by2
+ cxy + dx+ ey + f = 0 dan
moet altijd gelden dat c = 0
Leg uit waarom dat zo is. |
| |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|