Hyperbool en parabool als kegelsneden..
   
Hyperbool.  

Hiernaast zie je een vlak V dat een dubbele kegel doorsnijdt volgens een blauwe kromme, zoals hiernaast getekend.

De twee rode bollen van Dandelin raken dat vlak in de punten F1 en F2.
Kies een willekeurig punt P van deze kromme en teken de lijn die over het oppervlakte van de kegels loopt door P en door de top.

Dan geldt:
PF1 = PQ  (twee raaklijnen aan een bol)
PF2 = PR  (twee raaklijnen aan een bol)

Dus PF1 - PF2 = PR - PQ = QR
Maar QR is voor elk punt P constant (hangt alleen van vlak V af)

Dus PF1 - PF2 = constant.
Dan liggen de punten P op een hyperbool.

   
Parabool.  
   
Hiernaast is een kegel doorsneden met een vlak V dat een hoek 90 - a met het grondvlak maakt (waarbij a de halve tophoek van de  kegel is)
De snijkromme van vlak V hiernaast met de kegel is de blauwe kromme.
Er is nu maar n bol van Dandelin, die vlak V in punt F raakt.

Vlak W is het horizontale vlak door de snijcirkel van deze bol met de kegel.
Kies een willekeurig punt P van de blauwe kromme en teken de lijn PT over de kegelmantel. Die snijdt de snijcirkel en vlak W in punt Q.
Verder is PR z getekend dat PR loodrecht op s staat (de snijlijn van V en W)

Nu geldt op de eerste plaats weer  PQ = PF  (twee raaklijnen aan een bol).

Maar ook geldt PQ = PR! Dat kun je z zien:
  Als R'en Q'de projecties van R en Q op het grondvlak zijn, dan is  RR'= QQ'. Maar omdat ook PQQ' gelijk is aan de groene hoek, hebben de driehoeken PRR' en PQQ' dezelfde hoeken. Ze zijn daarom congruent, dus de zijden zijn ook gelijk.
   

Maar als PQ = PF  n PQ = PR, dan is ook  PF = PR, dus de afstand van punt P tot punt F is gelijk aan de afstand van punt P tot lijn s.
 
Ofwel: P ligt op een parabool waarvan s de richtlijn is, en F het brandpunt.