Cyclometrische functies.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
De cyclometrische functies zijn  arcsinx,  arccosx en arctanx. Het zijn de inversen van sinx, cosx en tanx.
Ze hebben hele simpele afgeleiden, en daarom kun je ze gebruiken om te primitiveren. Van arctanx hebben we dat al in een eerdere les  gezien. Deze les gaan we arcsinx en arccosx aan ons repertoire toevoegen.

Dat is nogal snel gebeurd, want de afgeleiden zijn:
       
functie   afgeleide
     
arctanx  

arcsinx  
arccosx  
     
Het bewijs van de afgeleide van arcsinx kun je hiernaast vinden. Dat van arccosx gaat natuurlijk precies hetzelfde.

Je ziet dat die afgeleiden van arcsinx en arccosx nogal op elkaar lijken. Het scheelt slechts een minteken. Je kunt ze gebruiken om de primitieve van 1/√(1 - x2) te krijgen.  Meestal wordt gekozen voor arcsinx.

Natuurlijk moet je bijna altijd nog wel eerst wat werk verrichten om de functies in de juiste vorm te schrijven.

Voorbeeld.

Je zou als primitieve verwachten F(x) = 1/2arcsin(1/2x)  maar omdat je met de kettingregel dan bij differentiŽren daarvan een extra factor 1/2 krijgt, moet je met 2 vermenigvuldigen. De primitieve is daarom F(x) = arcsin(1/2x) + c.

Voorbeeld.

Daarbij is de aloude techniek van het kwadraat afsplitsen weer eens van stal gehaald.

De primitieve is dus  F(x) = arcsin(x + 5) + c
       
Combinaties zijn natuurlijk het leukst!
       
Het aardigst zijn natuurlijk de primitieven waarbij je deze nieuwe primitieve met  arcsinx  kunt combineren met andere primitiveer-technieken van "vroeger".
Als je die truc van de kettingregel bijvoorbeeld nog weet, dan kun je de volgende redenering nu vast wel volgen:
Die 2x is precies de afgeleide van x2  dus de primitieve is  1/2arcsin(x2)
       
             
1. Geef primitieven van de volgende functies:
             
  a.   d.  
             
  b.   e.  
             
  c.   f.  
             
             
2. Combineren maar.....!
Geef primitieven van de volgende functies:
             
  a. f(x) = arcsinx
TIP: gebruik partieel primitiveren
             
  b.
TIP: gebruik de kettingregel
             
  c.
TIP: gebruik ontbinden in factoren
             
  d.
TIP: gebruik de kettingregel
             
  e.
TIP: haha, dit is helemaal geen arcsin
             
         

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)