arctanx   bij primitiveren.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

     



kwadraat afsplitsen

We zijn de arctan(x) functie al tegenkomen als de inverse van de tanx, en we deden daar toen heel gewichtig over.  Maar eigenlijk heeft die arctan(x) functie zijn grootste nut bij het primitiveren! Dat is waar de meeste echte wiskundigen hem van kennen.

Waarom kun je met arctanx  primitieven berekenen?

Dat zit hem allemaal in de afgeleide van tanx
Die is gelijk aan   tan2x + 1   (kun je zelf met de quotiëntregel wel aantonen als je tanx  schrijft als sinx/cosx)

Hieronder kun je zien wat het verband is tussen de helling van een functie en de helling van zijn inverse.  Bedenk dat die inverse de functie is gespiegeld in de lijn y = x
     

       
De rode grafiek in de linkerfiguur wordt gespiegeld in de lijn y = x. De twee blauwe lijnen zijn de raaklijnen in de punten R (die elkaars spiegelbeeld in y = x zijn). In de rechterfiguur zie je die twee raaklijnen nogmaals.
De bovenste raaklijn heeft helling   Δy/Δx  = groen/paars   en de onderste heeft helling  Δy/Δx = paars/groen Aan de lengte en kleur van die lijnstukjes zie je dat die twee precies elkaars omgekeerde zijn;
       
Bij spiegelen in y = x wordt de helling het omgekeerde
     
Hiernaast zie je de grafieken van tanx en arctanx.
Als op de grafiek van tanx een punt P(p, tanp) ligt, dan ligt op de grafiek van arctanx een punt (tanp, p), immers dat is gespiegeld in y = x

De helling van de grafiek van tanx in punt P is dan gelijk aan de afgeleide van tanx en dat is  tan2x + 1, dus die helling is  tan2p + 1.

Maar dan is de helling van de grafiek van arctanx in punt Q
gelijk aan 1/(tan2p + 1)
 

Punt Q heeft xQ = tanp
Dus in een punt met x = tanp  is de helling van de grafiek van arctanx  gelijk aan  1/(tan2p + 1) .
Dat betekent dat de helling gelijk is aan 1/(x2 + 1)
       

f(x) = arctanx  heeft afgeleide  f '(x) = 1/(1 + x2)

       
Het directe gevolg daarvan is:
       
f(x) = 1/(1+ x2)   heeft als primitieve  F(x) = arctan(x) + c
       
Al die moeite om maar één functie te kunnen primitiveren?
       
Gelukkig niet.
Er zijn een heleboel functies die je kunt "veranderen"  in 1/(1 + x2)
       
Bijvoorbeeld met dingen buiten haakjes halen.....

Voorbeeld 1
       
In de eerste stap is alles door 2 gedeeld om die +1 in de noemer te krijgen.

Als primitieve probeer je daarom  F(x) = 5/2arctan(x√2)
Maar dan krijg je vanwege de kettingregel in de afgeleide een extra factor √2, dus daar moet je nog door delen.
       
Voorbeeld 2.
       
Hieronder zie je dat je met kwadraat afsplitsen nog veel meer functies in de juiste vorm kunt schrijven:
Daarom zou je proberen de primitieve F(x) = 3 • arctan(1/2x + 1)
Maar dat geeft met de kettingregel een extra factor 1/2.  Dus moet je nog met 2 vermenigvuldigen om die weer weg te krijgen. De primitieve is daarom:    F(x) = 6arctan(1/2x + 1) + c
       
Dit werkt altijd zolang je na dat kwadraat afsplitsen maar een positief getal achter het kwadraat in de noemer overhoudt.
Die "+4" van dit voorbeeld was erg belangrijk.
En wanneer krijg je een positief getal?  Dat is zo als  de noemer te schrijven is als (x± p)2 + q
Die q moet dus positief zijn.
Maar dat betekent dat  (x ± p)2 + q geen oplossing heeft , immers dan zou (x ± p)2 = -q en dat kan niet.
Als  noemer = 0 geen oplossing heeft , dan is de discriminant ervan kleiner dan nul.
       
       
Wat je moet doen als dat niet zo is, dat zien we wel weer in een latere les.
       
             
1. Primitiveer de volgende functies:
             
  a.   d.  
             
  b.   e.  
             
  c.   f.  
             
2.
  Om dat goed uit te voeren zul je de functie eerst anders moeten gaan schrijven!
             
3.
  Het domein is [0, 2π]
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel, ingesloten door de grafiek van f en de x-as.
             
4.

       
  Zie de grafiek hiernaast.

V is het vlakdeel, ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijn x = √3

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat als V wordt gewenteld om de x-as.
             

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)