| De afgeleide van f(x) = arcsin(x) | ||||
| Omdat arcsinx de inverse
is van sinx, en omdat sinx veel vertrouwder is, gaan we
proberen onze kennis van sinx te gebruiken bij arcsinx. We weten (hopelijk?) al wel dat de je de grafiek van de inverse van een functie kunt vinden door te spiegelen in de lijn y = x. Laten we eerst kijken wat er gebeurt met de afgeleide als je spiegelt in de lijn y = x. |
||||
|
|
||||
| De rode grafiek in de linkerfiguur
wordt gespiegeld in de lijn y = x. De twee blauwe lijnen
zijn de raaklijnen in de punten R (die elkaars spiegelbeeld in y
= x zijn). In de rechterfiguur zie je die twee raaklijnen
nogmaals. De bovenste raaklijn heeft helling Δy/Δx = groen/paars en de onderste heeft helling Δy/Δx = paars/groen Aan de lengte en kleur van die lijnstukjes zie je dat die twee precies elkaars omgekeerde zijn; |
||||
|
||||
| Dat gaan we nu gebruiken om de
helling van arcsinx te bepalen, . Hiernaast staan de grafieken van y = arcsinx en y = sinx getekend. Het punt (p, sinp) ligt op de grafiek van sinx dus de helling in dat punt is de afgeleide van sinx en dat is cosx . Die helling bij x = p is dus cosp Maar volgens de stelling hierboven heeft de grafiek van arcsinx in het punt (sinp, p) dan de omgekeerde helling, dus helling 1/cosp |
|
|||
| Du gaan we proberen die 1/cosp uit te drukken in sinp (want dat is x). Da's gelukkig niet zo moeilijk: | ||||
 |
||||
| Conclusie: als x = sinp dan is de helling van arcsin gelijk aan 1/√(1 - sin2p) = 1/√(1 - x2) | ||||
|
||||
