Kwadraat afsplitsen.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
De manier om haakjes weg te werken in bijvoorbeeld (x - 3)2  ken je natuurlijk intussen wel, daar zal ik je niet mee vermoeien.
Interessanter is de vraag:  "Kan het ook andersom?";  "Kan ik er weer haakjes inzetten?"; "Kan ik er weer een kwadraat van maken?"
Bij deze les over de som- en productmethode hebben we al een manier gevonden om een aantal kwadraatformules te schrijven als (x + a)(x + b).
Deze les gaan we proberen om er niet  (x + a)(x + b) van te maken, maar een "echt" kwadraat zoals (x + a)2
Eerst maar eens een lijstje met een aantal zulke kwadraten bekijken:
   
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1
(x + 2)2 = x2 + 4x + 4
(x + 3)2 = x2 + 6x + 9
(x + 4)2 = x2 + 8x + 16
....
   
In dit lijstje zie je meteen dat dat blauwe getal het dubbele is van het rode.
Dat komt natuurlijk door de regel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Dus andersom:  als ik zie staan  x2 + 36x + 324   dan kan ik snel verzinnen dat dat wel gelijk zal zijn aan (x + 18)2
En dat klopt, want 182 is precies gelijk aan 324!

En als dat niet zo mooi uitkomt?

Neem bijvoorbeeld  x2 + 36x + 10
Dan komt het niet uit, want als je probeert  (x + 18)2  dan krijg je x2 + 36x + 324  zoals we eerder al zagen.

De oplossing is erg simpel:   Als het niet klopt dan mk je het gewoon kloppend!!!
Dat gaat z:
 
x2 + 36x + 10 
= x2 + 36x + 324 - 324 + 10
= (x2 + 36x + 324) + (-324 + 10)
= (x + 18)2 - 314
 

In die tweede regel heb ik er gewoon +324 en -324 bijgezet.  Omdat ik al wist dat er (x + 18)2 moest komen natuurlijk!!
Dit wat ik hier heb gedaan heet "kwadraat afsplitsen"  (engels:  "completing the square").

N.B.
Als er vr het kwadraat ook nog een getal staat, dan moet je dat natuurlijk eerst buiten haakjes zetten.
Bijvoorbeeld:   2x2 + 12x + 10 = 2(x2 + 6x + 5) = 2(x2 + 6x + 9 - 9 + 5) = 2((x + 3)2 - 4) = 2(x + 3)2 - 8

   
Wat hebben we hier aan?
   
1.  Vergelijkingen oplossen.

Je kunt nu kwadratische vergelijkingen oplossen zonder de ABC-formule te gebruiken.

Voorbeeld:   Los op:   4x2 + 32x - 16 = 0
4(x2 + 8x - 4) = 0  
4(x2 + 8x + 16 - 16 - 4) = 0
4((x + 4)2 - 20) = 0
4(x + 4)2 - 80 = 0
4(x + 4)2 = 80
(x + 4)2 = 20
x + 4 = √20  of  x + 4 = -√20
x = -4 + √20  of  x = -4 - √20.
   
2.  Grafieken schetsen.

Als je bij een kwadratische formule kwadraat afsplitst dan zie je hoe de grafiek ervan is ontstaan uit de basisgrafiek y = x2 .
Dan weet je dus meteen waar de top zit, en hoe de grafiek er ongeveer uitziet.

Voorbeeld:   schets de grafiek van    y =  -3x2 + 12x + 6
-3x2 + 12x + 6
=  -3(x2 - 4x - 2)
=  -3(x2  - 4x + 4 - 4 - 2)
=  -3((x - 2)2 - 6)
=  -3(x - 2)2 + 18

Het was de grafiek van y = x2, maar de afstand tot de x-as is 3 keer zo groot gemaakt, hij is gespiegeld in de x-as, hij is 2 naar rechts verschoven en 18 omhoog. De top zal dus het punt  (2, 18) zijn.
   
   
  OPGAVEN
   
1. Schrijf in de vorm  a(x + b)2 + c:
       
  a. 2x2 - 48x + 60

2(x - 12)2 - 228

  b. x2 + 4x - 12

(x + 2)2 - 16

  c. -5x2 - 20x - 10

-5(x + 2)2 + 10

  d. 18 - x2 + 2x

-(x - 1)2 + 19

       
2. Los algebrasch op zonder de ABC-formule te gebruiken:
       
  a. 6x2 - 24x - 48 = 0

2 12

  b. x2 + 10x = 90

-5 115

  c. 2x2  + 10x + 6,5 = 0

-2.5  3

       
3. De vergelijking  y = ax2 + bx + c  kun je oplossen door kwadraat af te splitsen.
Doe dat en laat zien dat je daarmee zelf de ABC-formule hebt afgeleid!!!!
       
     
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)