Doorsneden (2).

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

We hebben het in een eerdere les ook al gehad over doorsneden (deze les) maar daar werden de wat eenvoudigere doorsneden behandeld. Het ging daar vooral om het groter maken van vlakken binnen een ruimtelijke figuur met behulp van de volgende stelling:

Als twee evenwijdige vlakken worden gesneden door een derde vlak,
dan zijn de snijlijnen evenwijdig.

Maar helaas is het leven niet altijd zo eenvoudig. Zulke evenwijdige vlakken zijn er niet altijd, en zo'n snijlijn is ook maar niet zo n twee drie gevonden......
Hoogste tijd voor de wat moeilijkere gevallen.
 

Ik heb er nu al zin in.

Ik hoop jij ook!

Neem de kubus hiernaast, waarin we de doorsnede van vlak PQR met de kubus zoeken.
Die regel van die evenwijdige vlakken hierboven lukt nou eigenlijk niet, omdat er nergens een lijn in een grensvlak van de kubus gegeven is. PQ en PR en QR lopen er alle drie dwars doorheen!

In zo'n geval is het bijna altijd handig om de grondlijn te tekenen.
Dat is de snijlijn van vlak PQR met het bodemvlak van de kubus.
Je hoeft daarvoor niet binnen de kubus te blijven!

Laten we vlak PQR doortrekken naar het grondvlak. Zoals we bij de les schaduwen al hebben gezien kun je dat doen door de lijnen PR of PQ of QR te snijden met hun schaduwlijnen (projecties op de bodem).
Hiernaast is dat gedaan met PQ en met PR (QR valt nogal ver naar buiten)

Alle rode punten zijn deel van vlak PQR. De gezochte grondlijn is daarom de lijn S1S2.

 
Als je die grondlijn eenmaal hebt, is de rest makkelijk te vinden.
Snij n van de bodemribben van de kubus met de grondlijn. Bijvoorbeeld zoals hiernaast ribbe AB.
Dat geeft een nieuw snijpunt S3. En nou komt het:
Punt S3 ligt in vlak PQR (want op de grondlijn) en k in het voorvlek van de kubus (want op AB).
Maar dan ligt S3R k beide vlakken.
Daarom mag je S3R wel met FB snijden en vind je een nieuw punt S4 dat in vlak PQR ligt.

We hadden trouwens precies hetzelfde kunnen doen door DA of CB of zelfs DC met de grondlijn te snijden)
De rest is een fluitje van een cent.
Nu we S4 eenmaal hebben kunnen we de methode van die evenwijdige snijlijnen bij evenwijdige vlakken weer gebruiken.
Dat is hiernaast gedaan, waarbij bijvoorbeeld PS6 evenwijdig is aan de grondlijn en RS6 evenwijdig is aan S4S5.

De gezochte doorsnede is daarmee PS6RS4S5.
Nog even kort samengevat, de basismethode is dus:
1. Teken eerst de grondlijn.
2. Als je de grondlijn snijdt met een bodemribbe dan mag je dat nieuwe snijpunt verbinden met alle punten in het vlak van die bodemribbe.
   
  OPGAVEN
   
1. Construeer de doorsnede van vlak PQR met de ruimtelijke figuur:
     
 

     
 

     
 

     
 

     
2. Teken de doorsnede van vlak PQR met onderstaande drie lichamen.
   
 

     
3. Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 1992.

Van piramide T.ABCD is het grondvlak ABCD een vierkant met zijde 6. D is de loodrechte projectie van T op het grondvlak. DT = 8.
Op lijnstuk BT ligt een punt P zo dat BP = 2 PT
Op lijnstuk CD ligt een punt Q zo dat DQ = 2.
V is het vlak door P en Q dat evenwijdig is aan DT.

Het vlak V snijdt TC in R en AB in S.

     
  a. Teken de doorsnede van V met de piramide.
     
  b. Bereken de inhoud van lichaam PRQS.BC.
       
4. Het bakje hiernaast is symmetrisch en bestaat uit een kubus met een ribbe van 20 cm en een piramide. Hoek EFG is recht. De punten E, F, G, H en K  liggen in n vlak. Men giet het bakje leeg door het te kantelen om AB.

     
  a. Op zeker moment gaat de vloeistofspiegel door F, C en D. Teken die vloeistofspiegel.
     
  b. Is op dat moment het bakje meer of minder dan half vol? Verklaar je antwoord.
       
5. Hieronder staat een prisma met punt P op een ribbe. Van het vlak V door P is de grondlijn gegeven. Construeer de doorsnede van V met het prisma.
       
 

       
6. In de figuur hieronder is een cilinder getekend met daarin doorsnede V.
Teken de grondlijn van V.
       
 

       
7. Hiernaast staat een onregelmatige piramide met op n van de ribben een punt P. Verder zie je een lijn l die in het grondvlak van de piramide ligt.

V is het vlak waar l en P in liggen.
Teken de doorsnede van V met de piramide.

       
8. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2000
       
  Teken in het regelmatige zeszijdige prisma hiernaast de doorsnede van vlak AMN met het prisma. Daarbij zijn N en M middens van de ribben TB en TF.

       
9. Hiernaast staat een kubus ABCD.EFGH met punt P op AB en punt Q op EH.
M is het midden van HB.

Construeer de doorsnede van vlak PQM met de kubus.

       
10. Teken in de figuur hiernaast een vlak door punt P evenwijdig aan vlak QRS.

 

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)