schaduwen


Schaduwen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Oud-Indische wijsheid: Waar schaduw is, is licht.
Nou zijn er vanuit wiskundig oogpunt gezien, twee verschillende soorten lichtstralen. Op de eerste plaats heb je lichtstralen die vanuit één punt komen (zoals van een lamp als je er niet al te dicht bij staat tenminste). Zo'n lamp noemen we dan een puntvormige lichtbron. En op de tweede plaats zijn er evenwijdige lichtstralen (zoals bij benadering het licht van de zon).

Als we een lichtstraal wiskundig als een rechte lijn zien, zullen we in het eerste geval te maken hebben met rechte lijnen die elkaar in één punt snijden, en in het tweede geval met evenwijdige lijnen. Nogal verschillend dus.
Laten we beide gevallen apart behandelen.

1. Lichtstralen vanuit één punt.

Als lichtstralen vanuit een puntvormige lichtbron (L) op een object vormen, en je wilt de schaduw daarvan tekenen, bekijk dan de lichtstralen die door de hoekpunten van dat object gaan.

Hiernaast staat een lichtbron L.
We gaan het schaduwpunt van hoekpunt G van de kubus zoeken.
Omdat het een puntvormige lichtbron is gaat er precies één lichtstraal van af L door G. Die lichtstraal is hiernaast getekend.
De grote vraag is nu natuurlijk: waar komt deze lichtstraal op de bodem terecht?

Ergens daar bij dat vraagteken, maar waar precies???

De oplossing is eenvoudig.
Stel dat die lichtstraal een buis is die vanaf L steeds langer wordt gemaakt richting G. Waar raakt deze buis dan de grond?
Nou, als je alles van boven verlicht dan zie je op de grond de schaduw van deze buis (hihi: de schaduw van een lichtstraal!?!)
Ik beweer: het punt waar de buis de grond raakt is ook het punt waar hij zijn schaduw "ontmoet".

Het gezochte punt is het snijpunt van de buis en zijn schaduw.
Maar van die schaduw weten we dat hij door het punt recht onder G loopt (de projectie van G op de bodem; laat G gewoon "recht omlaag vallen").

Door nu vanaf L allemaal lichtstralen naar de bovenhoeken van de kubus te tekenen en die te snijden met de bijbehorende grondlijnen vind je de schaduwpunten van alle hoekpunten.
Daarmee kun je de schaduw tekenen, zoals je hieronder ziet.

Links zijn de schaduwpunten van E, F, G en H getekend. Rechts zijn die schaduwpunten met elkaar verbonden en is de schaduw blauw gekleurd.

Het valt je misschien op dat het eigenlijk niet nodig was om punt E' te tekenen. Het is ook geen "echt" schaduwpunt. Toch is het wel handig om ook zulke punten te tekenen. Ze helpen soms bij het tekenen van de uiteindelijke vorm van de schaduw.

Verder valt het misschien op dat bijvoorbeeld F'G' evenwijdig is aan FG. Dat is geen toeval. Lijnen die horizontaal lopen geven schaduwlijnen die daaraan evenwijdig zijn. Dat komt eigenlijk allemaal weer door die drievlakkenstelling: Als twee evenwijdige vlakken (grondvlak en EFGH) worden gesneden door een derde vlak (het vlak waar de lichtstralen LF en LG in liggen) dan zijn de snijlijnen evenwijdig!

horizontale lijnen geven evenwijdige schaduwlijnen

Voorbeeld 1.

Teken de schaduw van het voorwerp hiernaast ten gevolge van de lichtbron L.

Nou, gewoon doen zoals hierboven.

Hopelijk spreekt de tekening hieronder voor zich.

(Ik neem aan dat het je opvalt dat A'B' evenwijdig is aan AB, en G'H' aan GH enzovoorts)

2. Evenwijdige lichtstralen.

Evenwijdige lichtstralen zie je elke dag: het licht van de zon. De Pietjes Precies onder ons zullen aanvoeren dat die stralen niet helemaal evenwijdig zijn, maar dat de situatie is zoals hieronder geschetst.

Ik heb de grootte van de hoek Δα geschat. Neem maar een gelijkbenige driehoek met een hoogtelijn van 150 miljoen km (de afstand aarde-zon) en een basis van bijvoorbeeld 10 meter (de lengte van het huisje). Dan is de tophoek 0,0000000038º. Niet meetbaar dus. Die stralen zijn echt voor alle praktische toepassingen evenwijdig.
En ook als je de diameter van de zon meerekent zou je van de linkerkant van de zon een straal onder een andere hoek dan van de rechterkant van de zon krijgen. Het hoekverschil daartussen is 0,3º en dat is nog steeds maar erg weinig (de diameter is 1,4 • 10⁶ km, dus reken dat zelf maar na).

Als je nu een schaduw wilt gaan tekenen dan zal gegeven moeten worden welke richting die lichtstralen (die allemaal evenwijdig zijn) hebben.
Neem bijvoorbeeld de kubus hiernaast, waarvan we de schaduw willen tekenen, en waarbij gegeven is dat de lichtstralen allemaal evenwijdig aan HP zijn.

We gaan weer vanaf de hoekpunten E, F, G en H lichtstralen tekenen evenwijdig aan HP. Hiernaast is dat vanaf punt E al gedaan.
De vraag is natuurlijk weer: "Waar komt deze straal op het bodemvlak terecht?"
Het is gelukkig allemaal erg eenvoudig, als je het volgende maar bedenkt:

Als lijnen evenwijdig zijn,
dan zijn hun projecties dat ook.

De "grondlijn" die bij HP hoort is lijn DP. Dus is de grondlijn die bij die straal vanaf E hoort daar evenwijdig aan.

Dat geeft de lijn AE' hiernaast en dus ook het snijpunt E'.

(Je kunt het trouwens ook zó zien: omdat EE' evenwijdig is aan HP liggen die twee lijnen in één vlak. Dat moet dan wel vlak HEP zijn, en dat is hetzelfde als vlak EHCB. E' ligt daarom op het verlengde van BC)

Ook vanaf de andere punten deze manier gebruiken levert dan uiteindelijk de schaduw hiernaast op.

OPGAVEN

1.	Teken de schaduw van de ruimtelijke figuren hieronder ten gevolge van de puntvormige lichtbron L. Geef een duidelijke toelichting.

	a.

	b.

	c.

2.	Teken de schaduw van de ruimtelijke figuren hieronder, als de lichtstralen evenwijdig zijn aan PQ. Geef een duidelijke toelichting.

	a.

	b.

	c.
		PQ ligt in een verticaal vlak.

3.	Hieronder zie je een kippenhok. Het hok staat op een vlakke vloer. De gele punt is een lamp. Door deze lamp ontstaat een schaduw van het hok op de vloer. Teken deze schaduw in de figuur. Geef een duidelijk uitleg van je werkwijze.



4.	P ligt op AC. Ergens op AB ligt een punt R zodat DR en PQ elkaar snijden. Construeer punt R.

5.	Hieronder zie je een kubusvormig huis met daarvoor een schutting (die is doorzichtig getekend) In hoekpunt L hangt een lamp. In de rechterzijwand van het huis zit een vreemd gevormd raam, waardoor het licht van de lamp naar buiten op de schutting valt. Teken het beeld van dat raam op de schutting.



6.

	Teken de schaduw die het groene blok ten gevolge van lichtbron L produceert op de wanden van het huis.


© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)