Doorsneden (deel 1)

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

In de vorige les hebben we het gehad over de drievlakkenstelling en wat die zegt over de snijlijnen van drie vlakken die geen van alleen evenwijdig aan elkaar zijn. (weet je het nog:  ze gaan door n punt, vallen samen, of zijn evenwijdig)
Wat gebeurt er, als sommige van die vlakken wl evenwijdig aan anderen zijn........?

Nou, als alle drie de vlakken evenwijdig zijn, dan is dat nogal slaapverwekkend wat betreft de snijlijnen, want die zijn er dan niet.
 

Het interessante geval  is, als er twee vlakken evenwijdig aan elkaar zijn, en de derde een andere richting heeft.
Daarvoor geldt de volgende stelling:
   

Als twee evenwijdige vlakken worden gesneden door een derde vlak,
dan zijn de snijlijnen evenwijdig.

 
Daar hoort het plaatje hiernaast bij.
Die twee groene evenwijdige vlakken worden gesneden door dat derde gele vlak. Nu zijn de twee rode snijlijnen evenwijdig.
Mooi.... Maar ehhh... Wat hb je daaraan?
Je kunt deze eigenschap mooi gebruiken als je een vlak binnen een ruimtelijke figuur "groter wil maken".  Vaak is in een figuur maar een deel van een vlak getekend, en wil je dat vlak graag uitbreiden binnen die figuur.
Die uitbreiding noemen we een "doorsnede":
   

de doorsnede van een vlak met een ruimtelijke figuur
is "alles" van dat vlak wat zich binnen die figuur bevindt.

   

   
 
Neem bijvoorbeeld de kubus hier linksboven met daarin een deel van een geel vlak getekend.

Als je dat vlak groter maakt (zodat uiteindelijk alle "randen" van het vlak in de zijvlakken van de kubus liggen, dan krijg je de figuur in het midden.

Het is inderdaad of de kubus is "doorgesneden" waarbij het mes langs die doorsnede is gegaan.

Helaas is het niet altijd zo makkelijk om zon doorsnede te tekenen. Laten we bekijken hoe je de stelling hierboven daar soms bij kunt gebruiken.....
   
Neem de kubus hiernaast, waarin je dolgraag de doorsnede van het vlak door P, Q en R met de kubus wilt tekenen.

Dat die doorsnede nog niet klaar is, kun je zien aan het feit dat lijn PR niet in een grensvlak van de kubus ligt, maar er `doorheen` loopt.

Hoe maak je dat vlak groter?

Dat zie je het best door alleen het voorvlak, het achtervlak en het gele vlak te bekijken:

Komt het je al bekend voor?

Het is net zo'n tekening als met die drie vlakken hierboven!

Ook hier zie je twee evenwijdige vlakken (het voorvlak en het achtervlak van de kubus) die worden gesneden door een derde vlak (vlak PQR).

De stelling zegt dat de snijlijnen dan evenwijdig zijn.
Maar n van die snijlijnen hebben we al! Dat is lijn PQ.
Dat betekent dat de snijlijn van PQR met het achtervlak evenwijdig is aan PQ. Hiernaast zie je de kubus weer met die extra snijlijn er bij ingetekend. Het is de lijn RS1, en die ligt dus k in vlak PQR.

Dat vlak is dus al uitgebreid tot PQRS1.
Maar dat is nog niet voldoende, want PS1 loopt nog door de kubus.
De doorsnede is dus nog niet af.

Je kunt dezelfde truc gewoon ng een keer gebruiken!!!!!
Kijk nu naar het linkerzijvlak, het rechterzijvlak en het gele vlak.
Weer twee evenwijdige vlakken die worden gesneden door een derde vlak.

Dus ook deze snijlijnen zijn evenwijdig.
Omdat de snijlijn van PQRS1 met het linkervlak gelijk is aan RQ moet de snijlijn in het rechtervlak dus daar wel evenwijdig aan zijn.

Teken daarom een lijn door S1 evenwijdig aan RQ.
Dat geeft de volgende snijlijn S1S2.

Tenslotte kun je de doorsnede helemaal afmaken door P en S2 met elkaar te verbinden. Dat mag, want die liggen al beide in het ondervlak van de kubus, dus hun verbindingslijn ook.
Dat levert uiteindelijk de volgende doorsnede op:

   

Z leg je dat uit aan je leraar:  
(// betekent "is evenwijdig aan")

  RS1 // QP
  S1S2 //  RQ
  doorsnede  PQRS1S2.

 
   
   
1. Teken in onderstaande kubussen de doorsnede van vlak ABC met de kubus.
Geef een duidelijke toelichting van je werkwijze
   

 
2. Teken in onderstaande drie kubussen de doorsnede van vlak PQR met de kubus.
Geef een duidelijke toelichting van je werkwijze.
       
 

     

3. Teken in onderstaande ruimtelijke figuren de doorsnede van vlak PQR met de figuur.
Geef een duidelijke toelichting van je werkwijze.
 

 

 

  a b. c. regelmatig zeszijdig prisma
       
 

  d. e. f.
       
4. examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 1994.

Van de balk ABCD.EFGH die in de figuur hiernaast is afgebeeld, is gegeven:  AB = BC = 4  en AE = 8.
M en N zijn achtereenvolgens de middens van de ribben BF en DH.

Teken de doorsnede van vlak AMN met het viervlak ACFH en arceer deze doorsnede.

   
Een vlak evenwijdig aan een ander vlak.
   
Je hebt hierboven simpel gezegd ontdekt dat evenwijdige vlakken ook evenwijdige snijlijnen opleveren. Dat hebben we intussen gebruikt om doorsneden te tekenen als er evenwijdige vlakken aanwezig zijn.
Maar je kunt de eigenschap natuurlijk ook gebruiken om zelf evenwijdige vlakken te tekenen.
   
Neem de kubus hiernaast waarom vlak PQR is getekend en verder een punt A. Stel dat we de doorsnede met de kubus willen tekenen van het vlak V dat door A gaat en evenwijdig is aan vlak PQR.

Met de stelling hierboven kun je dan als volgt redeneren:

   
1. de snijlijn van het achtervlak met PQR is evenwijdig aan PQ (twee evenwijdige vlakken voor- en achter)
2. de snijlijn van V met het achtervlak is evenwijdig aan de snijlijn van het achtervlak met PQR, dus ook evenwijdig aan PQ  (twee evenwijdige vlakken PQR en V).
 
En op dezelfde manier is de snijlijn van V met het rechterzijvlak dan evenwijdig aan PR, en de snijlijn met het voorvlak evenwijdig aan PQ, en de snijlijn met het bovenvlak evenwijdig aan RQ.

Als je dat allemaal tekent krijg je de doorsnede AS1S2S3 hiernaast.

 

 

5. Teken in beide onderstaande figuren de doorsnede met de ruimtelijke figuur van een vlak door punt P dat evenwijdig loopt aan het getekende vlak.
       
 

       
6. Teken in onderstaande ruimtelijke figuren een vlak door punt P evenwijdig aan vlak QRS.
       
 

       
7. Hieronder staat een kubus met een vlak PQR getekend.
We gaan vlakken tekenen die evenwijdig aan PQR zijn en die door een punt S op lijn AB gaan.
Waar op AB kan punt S liggen zodat de doorsnede van die nieuwe vlakken met de kubus een zeshoek is?
       
 

       
8. Hieronder zie je een foto van een aquarium met daarnaast een wiskundige schets ervan. De afmetingen zijn in cm.
       
 

       
  Men giet de bak, als hij vol met water zit,  leeg door hem te kantelen om lijn PQ.
       
  a. Teken de vorm die de waterspiegel heeft als de bak half vol is.
       
  b. Hoeveel water zit er nog in de bak op het moment dat de waterspiegel driehoekig van vorm wordt?
       
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)