Breuksplitsen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

     


kettingregel
kwadraat afsplitsen
arctanx

 

Er zijn een boel manieren om de primitieve van een breuk te bepalen.
Daarvan kun je in andere lessen al vinden hoe dat kan via staartdeling, ontbinden of  uitdelen.

Deze les bekijken we de techniek van het breuksplitsen. 

Daarvoor bekijken we functies die er zó uitzien:
 

       
De aanpak daarvan hangt nogal af van de discriminant (D = p2 - 4q)  van de noemer!
Er zijn drie mogelijkheden, elk met hun eigen aanpak:
       
Mogelijkheid 1:  D < 0
       
Als dat zo is kun je noemer schrijven als  (x - m)2 + n  waarbij n > 0.
Hoe dat moet kun je vinden in de les over kwadraat afsplitsen. Dat n groter dan nul is, kun je weten omdat de  noemer nooit nul wordt (D < 0), dus moet, als je probeert op te lossen  (x - m)2 + n = 0 , er geen oplossing zijn.
Dat is zo als n > 0 want als je dan n naar de andere kant brengt vind je (x - m)2 = -n  en dat kan niet.

Maar dan kun je een integraal maken die op te lossen is, door de kettingregel te gebruiken. Zet gewoon die "eigen afgeleide" van de noemer in de teller en kijk wat je overhoudt. Zo werkt dat:
       
       
Dat eerste stuk is nu een makkie: dat hebben we in de les over de kettingregel al behandeld.
De primitieve daarvan is  ln(x2 - 6x + 13)  reken zelf maar na.

Bij het tweede stuk kun je nu in de noemer kwadraat afsplitsen. Dat gaat zó:
       
       
Dat begint al aardig op de primitieve van arctanx te lijken. Alleen moet daar in de noemer dan staan +1 in plaats van +2. Dus delen we alles door 4. 
       
       
En nu is het wel een arctanx geworden alleen dan in plaats van x nu  1/2(x - 3).
Dus proberen we als primitieve:  2arctan(1/2(x - 3)) = 2arctan(1/2x - 11/2).
Als je dat differentieert komt er de gevraagde functie uit, alleen krijg je vanwege de kettingregel nog wel een factor 1/2. Die moet je dus nog wegwerken door alles met 2 te vermenigvuldigen.
Dat geeft uiteindelijk als primitieve:     F(x) = ln(x2 - 6x + 13)  + 4arctan(1/2x - 11/2) + c
       
Mogelijkheid 2:   D = 0.
       
Als D nul is, dan is het allemaal veel makkelijker. Immers dan kun je de noemer schrijven als  (x ± p)2 , en dan lost alles zich op door die factor (x ± p) ook in de teller te "fabriceren".
Hier is een voorbeeld:
       
       
Dat laatste is eenvoudig te primitiveren, immers er staat 4/(x + 3) - 13(x + 3) -2 . De primitieve wordt:
       
       
Mogelijkheid 3:  D > 0.
       
Als D > 0 dan kun je de noemer schrijven als (x - p)(x - q)  waarbij die p en q de oplossingen zijn die de ABC-formule zou geven als je oplost  Noemer = 0.
Je kunt die m en n vinden door  de laatste twee breuken rechts samen te nemen (noemers gelijk maken) en dan te eisen dat die nieuwe teller gelijk is aan ax + b.
Deze techniek heet breuksplitsen. Met formules werkt het zó:
Die laatste teller is gelijk aan ax + b  als geldt dat  m + n = a  en   -mq-np = b
Dat is een stelsel van twee  lineaire vergelijkingen dat je makkelijk op kunt lossen.

Voorbeeld:  

Dat laatste is gelijk aan f(x) als geldt:    m + n = 4  en  2m - 5n = -2
Dat geeft m = 18/7  en n = 10/7
De primitieve is dan   F(x) = 18/7ln(x - 5) + 10/7ln(x + 2) + c
       
Daarmee hebben we alle mogelijkheden bekeken en uitgewerkt, dus vanaf nu kun je een breuk met een lineaire functie in de teller en een kwadratische in de noemer primitiveren. (Als er voor x2 in de noemer nog een constante staat, dan deel je alles daar eerst door).
Samengevat:
 

       
D < 0 kettingregel ⇒ kwadraat afsplitsen  arctanx.
D = 0 kettingregel.
D > 0 breuksplitsen.
       
       
             
1. Geef primitieven van de volgende functies:
             
  a.   d.

             
  b.   e.
             
  c.

  f.
             
2. Je wilt graag de volgende integraal berekenen;
             
 

             
  Maar dat gaat niet zomaar!
Je zult daarvoor eerst de substitutie u = √(x + 8) moeten uitvoeren.
Voer die substitutie uit en bereken vervolgens de integraal.
           
-1/3ln5 + 2/3ln2 + 1/3ln4
             
Andere Breuken.
       
Tot nu toe was het steeds een lineaire functie gedeeld door een kwadratische.
Andere breuken kun je vaak tot deze vorm herleiden door een staartdeling te maken. Ik zou dat proberen als de macht van de teller minstens zo hoog is als de macht van de noemer.
       
voorbeeld:
       
Een staartdeling uitvoeren levert het volgende op:

En nou wil  het verder wel, denk ik. Daar rechts staat nog een kettingregelgeval plus een arctangens.
Veel plezier d'r mee...
       
Het doet een beetje denken aan dit wiskunde-mopje:
 
Vraag 1:
Gegeven; een  lege ketel, een kraan, een theepot, een gasfornuis, lucifers en een theezakje.
Hoe maakt een wiskundige thee?
Antwoord:  hij vult de ketel met water, doet met een lucifer het gasfornuis aan, zet de ketel erop tot het water kookt, giet het in de theepot en doet het theezakje erbij.

Vraag 2:
Gegeven; een ketel met kokend water, een kraan, een theepot, een gasfornuis, lucifers en een theezakje.
Hoe maakt een wiskundige thee?
Antwoord: Hij gooit de ketel leeg, en reduceert daarmee het probleem tot het vorige.  QED.
 
             
3. Geef primitieven van de volgende functies:
             
  a.

  c.  
             
  b.   d.  
             
4.
             
         

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)