diverse primitieven


Moeilijke Primitieven: drie lessen!	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

staartdelingen

Les 1. Staartdelingen.

Sommige (nou ja om eerlijk te zijn nogal veel) functies zijn veel te moeilijk om te primitiveren.
Zo kun je bijvoorbeeld erg veel breuken niet primitiveren. Er bestaat niet zoiets als een "quotiëntregel voor primitiveren".

Maar in sommige gevallen is het wel mogelijk een formule te veranderen in een nieuwe formule die wél te primitiveren is.
Heel vaak kun je breuken veranderen door een staartdeling uit te voeren (zie de voorkennisles).

Veel te moeilijk om zo in één keer te primitiveren.
Maar als je een staartdeling maakt dan krijg je dit:

De rest van de deling is -1. Dat betekent dat je de oorspronkelijke functie kunt schrijven als:

En die uitdrukking aan de rechterkant is opeens wél te primitiveren.
Dat geeft F(x) = ¹/₂x⁴ + ²/₃x³ - ¹/₂x² + x - ¹/₂ln(2x + 1)

Geef primitieven van de volgende functies:

V is het vlakdeel ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijn x = p (p > 0)
Bereken voor welke p de oppervlakte van V gelijk is aan 10.
Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.

p = 3,743

Bereken exact de oppervlakte van het vlakdeel V dat ingesloten wordt door de grafieken van f en g voor x > 1

³⁵/₆ - 2ln6

De grafiek van y = ^(x^{²
+ 3)}/_(x_-₁₎ en de lijn y = 7 sluiten samen een vlakdeel V in.
Bereken de oppervlakte van V.

7,5+4ln4

Les 2. sin²x en cos²x.

We gaan nog even door op het thema van formules die je niet kunt primitiveren, maar waarbij het wel mogelijk om ze te veranderen in andere formules die je wél kunt primitiveren.
We zagen dat al hierboven bij staartdelingen.

Het kan ook bij de functies: y = sin²x en y = cos²x

Dat komt omdat we twee handige formules hebben waar die sin²x en cos²x in voorkomen.
Dat zijn deze twee formules:

cos2x = 1 - 2sin²x
cos2x = 2cos²x - 1

Van deze formules kun je maken sin²x .... of cos²x = ..... en dan kun je wat daar op die stippeltjes staat wél primitiveren.
Kijk maar:

cos2x = 1 - 2sin²x
cos2x - 1 = -2sin²x
1 - cos2x = 2sin²x
¹/₂ - ¹/₂cos2x = sin²x

En die laatste is makkelijke te primitiveren. De primitieve is ¹/₂x - ¹/₄sin2x

de primitieve van f(x) = sin²x is F(x) = ¹/₂x - ¹/₄sin2x

Toon aan dat de primitieve van cos²x gelijk is aan ¹/₂x + ¹/₄sin2x

¹/₈

Gegeven is de functie f(x) = 3cos²x + 2sin²x
Bereken de exacte waarde van de oppervlakte onder de grafiek van f tussen x = 0 en x = π

2,5π

Gegeven is de functie f(x) = sin(ax) voor 0 < x < ^π/_aV is het vlakdeel in gesloten door de grafiek van f en de x-as.
V wordt gewenteld om de x-as.
Toon aan dat het omwentelingslichaam dat dan ontstaat altijd inhoud ¹/₂π² heeft, onafhankelijk van a.

Gegeven zijn de functies f(x) = sin² x en g(x) = cos²x
P en Q zijn twee opvolgende snijpunten van de grafieken van f en g.
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g tussen de punten P en Q.

10.

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2001.

Met domein [0, 2π] zijn de functies f en g gegeven door:
f(x) = 2sin²xen g(x) = 1 - cosx

Hiernaast zijn de grafieken van f en g getekend.

De vlakdelen ingesloten door de grafieken van f en g zijn in deze figuur aangegeven door A, B en C, en ingekleurd.

Bereken de maximale lengte van een verticaal lijnstuk in het vlakdeel A.

⁹/₈

Bereken de oppervlakte van het vlakdeel B.

2√3

Tussendoortje.

Als je trouwens de integraal van sin²xtussen 0 en 2π wilt berekenen ben je natuurlijk GEK als je het via deze primitieve doet.Ik hoop dat je aan het volgende plaatje direct ziet dat daar π moet uitkomen:

Het groene en het paarse deel zijn gelijk.......

Les 3. Primitieven aantonen.

Soms kun je functies niet zomaar primitiveren, maar heb je wel een bepaald vermoeden over de vorm van de primitieven.
(of je krijgt dat vermoeden doordat de maker van een opgave je het vertelt!)

Voorbeeld.
Stel bijvoorbeeld dat je de primitieve van f(x) = x² • e^x wilt berekenen.
Dat is nogal moeilijk, maar omdat de primitieve van e^x wéér e^xis, proberen je maar eens of een combinatie van e-machten misschien hier de goede primitieve oplevert.
Je probeert daarom vol goede moed de primitieve: F(x) = ax²e^x + bxe^x + ce^x
Als dit inderdaad een primitieve is, dan moet de afgeleide ervan f opleveren.

F is een primitieve van f ⇒ F' = f

Met dit regeltje kun je aantonen dat een bepaalde gegeven (of gegokte) F de goede is. Ga die F gewoon differentiëren.
In het voorbeeld geeft dat (met de productregel):

F' = 2axe^x + ax²e^x + be^x + bxe^x + ce^x

herrangschikken geeft F' = e^x• {ax² + (2a + b)x + (b + c)}

als dat de goede primitieve is, dan moet dat voor elke x gelijk zijn aan x²e^x .
dus moet gelden: ax² + (2a + b)x + (b + c) = x²
omdat dat voor elke x moet kloppen moet a gelijk zijn aan 1, en (2a + b) moet nul zijn en (b + c) moet ook nul zijn.
Daaruit volgt a = 1 en b = -2 en c = 2.
De gezochte primitieve is dus F(x) = x²e^x - 2xe^x + 2e^x

11.

De primitieve van sinx • sin2x is ¹/₂sinx - ¹/₆sin3x. Toon dat aan.

12.

De primitieve van x • cosx is cosx + x • sinx. Toon dat aan.

13.

De primitieve van x² • sinx is 2x • sinx + (2 - x²) • cosx. Toon dat aan.

De primitieve van x³ • sinx is (3x² - 6) • sinx - (x³ - 6x) • cosx. Toon dat aan

14.

De afgeleide van tanx is tan²x + 1.
Gebruik dat om een primitieve van tan²x te bepalen.

tanx - x

15.

16.

Een primitieve van f(x) = cos³x is de functie F(x) = asinx • (cos²x + b)
Bereken de constanten a en b als dat zo is.

a = ¹/₃ en b = 2

17.

Gegeven is de functie f(x) = 2x • e^{1 - x}
Het blijkt dat F(x) = a • f(x) + b • f ' (x) een primitieve is van f.
Bereken a en b.

18.

Een primitieve van f(x) = x • lnx is van de vorm F(x) = x² • (alnx + b)
Bereken a en b

a = ¹/₂ , b = -¹/₄

19.

Een primitieve van f is van de vorm F(x) = a • lnx + b • ln²x .
Bereken a en b.

a = b = 2

20.

Gegeven is de functie f(x) = x² • e ^-^0,5x
Een primitieve van f is van de vorm F(x) = e^-0,5x • (-2x² + px - 16)
Bereken p.

p = -8

21.

examenvraagstuk Wiskunde B, 1986.

Met domein R is voor elke p ∈ R gegeven de functie f_p : x → (2x² + px)e^-x
Gegeven is dat de functie F : x → (ax² + bx + c)e^-x een primitieve functie van f₃ is.
Bereken a, b en c.
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door K₃ en de x-as.

7 - e√e

22.

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1987.

Met domein [-¹/₂π, 1¹/₂π] is gegeven de functie f : x → 3sin³x
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is F de grafiek van f
Met domein [-¹/₂π, 1¹/₂π] is de functie g : x → acos³x+ bcosx, waarbij a ∈ R en b ∈ R, een primitieve van f.
Bereken a en b.
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door F en de x-as.

23.

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2012.

Voor elke positieve waarde van a is een functie f_a gegeven door f_a(x) = (1- ax) • e^axen een functie F_a gegeven door F_a(x) = x • e^-ax

De functie F_a is een primitieve functie van f_a.

Toon dit aan

De grafiek van f_a snijdt de x-as in punt A (¹/_a, 0) en de y-as in punt B (0,1)
Zie de figuur.
De grafiek van f_a verdeelt driehoek OAB in twee delen

Toon aan dat de verhouding van de oppervlakten van deze twee delen onafhankelijk is van a.

24.

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2001.

Met domein [0, π] is voor elke a ∈ R een functie f_a gegeven door:
f_a (x) = cosx + asin²x

In de figuur hiernaast is voor enkele waarden van a de grafiek van f_a getekend.

Voor a > 0 is V_a het vlakdeel ingesloten door de grafieken van f_a en f_-a

Bereken a in het geval dat de oppervlakte van V_a gelijk is aan 6π.

a = 6

25.

examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2018-I.

Gegeven is de functie f(x) = xe^x . In de volgende figuur is de grafiek van fgetekend, en ook lijn l: y = ¹/_e • x.
Het vlakdeel tussen lijn l en de grafiek van f is grijs gemaakt.

Bereken exact de oppervlakte van het grijze vlakdeel.