Moeilijke Primitieven:  drie lessen!

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
 

staartdelingen

Les 1.  Staartdelingen.
   
Sommige (nou ja om eerlijk te zijn nogal veel) functies zijn veel te moeilijk om te primitiveren.
Zo kun je bijvoorbeeld erg veel breuken niet primitiveren. Er bestaat niet zoiets als een "quotiëntregel voor primitiveren".
Maar in sommige gevallen is het wel mogelijk een formule te veranderen in een nieuwe formule die wél te primitiveren is.
Heel vaak kun je breuken veranderen door een staartdeling uit te voeren (zie de voorkennisles).
Veel te moeilijk om zo in één keer te primitiveren.
Maar als je een staartdeling maakt dan krijg je dit:
 
   

   
De rest van de deling is -1.  Dat betekent dat je de oorspronkelijke functie kunt schrijven als:
 
En die uitdrukking aan de rechterkant is opeens wél te primitiveren.
Dat geeft  F(x) = 1/2x4 + 2/3x3 - 1/2x2 + x - 1/2ln(2x + 1)
   
   
1. Geef primitieven van de volgende functies:
       
  a.  
  b.  
  c.  
       
2.
  V is het vlakdeel ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijn x = p  (p > 0)
Bereken voor welke p de oppervlakte van V gelijk is aan 10.
Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.
     

p = 3,743

       
3.
  Bereken exact de oppervlakte van het vlakdeel V dat ingesloten wordt door de grafieken van f en g voor x > 1
     

35/6 - 2ln6

4. De grafiek van y = (x² + 3)/(x - 1) en de lijn y = 7 sluiten samen een vlakdeel V in.
Bereken de oppervlakte van V.
     

7,5+4ln4

Les 2.  sin2x  en  cos2 x.
We gaan nog even door op het thema van  formules die je niet kunt primitiveren, maar waarbij het wel mogelijk om ze te veranderen in andere formules die je wél kunt primitiveren. 
We zagen dat al hierboven bij staartdelingen.

Het kan ook bij de functies:    y = sin2x en y = cos2x

Dat komt omdat we twee handige formules hebben waar die sin2x en cos2x in voorkomen.
Dat zijn deze twee formules:
   

cos2x = 1 - 2sin2x
cos2x = 2cos
2x - 1

   
Van deze formules kun je maken sin2x  ....  of  cos2x = .....  en dan kun je wat daar op die stippeltjes staat wél primitiveren.
Kijk maar:

cos2x = 1 - 2sin2x
cos2x - 1 = -2sin2x
1 - cos2x = 2sin2x
1/2 - 1/2cos2x = sin2x

En die laatste is makkelijke te primitiveren. De primitieve is  1/2x - 1/4sin2x

   

de primitieve van   f(x) = sin2x   is    F(x) = 1/2x - 1/4sin2x 

   
       
5. Toon aan dat de primitieve van cos2x gelijk is aan  1/2x + 1/4sin2x
       
6.
     

1/8

7. Gegeven is de functie f(x) = 3cos2x + 2sin2x
Bereken de exacte waarde van de oppervlakte onder de grafiek van  f  tussen x = 0 en x = π
     

2,5π

8. Gegeven is de functie f(x) = sin(ax)  voor  0 < x < π/a
V is het vlakdeel in gesloten door de grafiek van f en de x-as.
V wordt gewenteld om de x-as.
Toon aan dat het omwentelingslichaam dat dan ontstaat altijd inhoud 1/2π2 heeft, onafhankelijk van a.
       
9. Gegeven zijn de functies f(x) = sin2 en g(x) = cos2x
P en Q zijn twee opvolgende snijpunten van de grafieken van f en g.
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g tussen de punten P en Q.
     

1

10. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2001.
         
  Met domein [0, 2π] zijn de functies f en g gegeven door:
f(x) = 2sin2x  en   g(x) = 1 - cosx

Hiernaast zijn de grafieken van f en g getekend.

De vlakdelen ingesloten door de grafieken van f en g zijn in deze figuur aangegeven door A, B en C, en ingekleurd.

       
  a. Bereken de maximale lengte van een verticaal lijnstuk in het vlakdeel A.
     

9/8

 
  b. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel B.  
     

23

 
Les 3.  Primitieven aantonen.
Soms kun je functies niet zomaar primitiveren, maar heb je wel een bepaald vermoeden over de vorm van de primitieven.
(of je krijgt dat vermoeden doordat de maker van een opgave je het vertelt!)

Voorbeeld.
Stel bijvoorbeeld dat je de primitieve van  f(x) =  x2ex   wilt berekenen.
Dat is nogal moeilijk, maar omdat de primitieve van ex  wéér ex is, proberen je maar eens of  een combinatie van e-machten misschien hier de goede primitieve oplevert.
Je probeert daarom vol goede moed de primitieve:   F(x) = ax2ex + bxex + cex   
Als dit inderdaad een primitieve is, dan moet de afgeleide ervan f opleveren.
   

F is een primitieve van  f        F' = f  

   
Met dit regeltje kun je aantonen dat een bepaalde gegeven (of gegokte) F de goede is. Ga die F gewoon differentiëren.
In het voorbeeld geeft dat (met de productregel):

F' =  2axex + ax2ex + bex + bxex + cex 

herrangschikken geeft  F' = ex {ax2 + (2a + b)x + (b + c)}

als dat de goede primitieve is, dan moet dat voor elke x gelijk zijn aan  x2ex .
dus moet gelden:    ax2 + (2a + b)x + (b + c) = x2
omdat dat voor elke x moet kloppen moet a gelijk zijn aan 1, en  (2a + b)  moet nul zijn en  (b + c)  moet ook nul zijn.
Daaruit volgt  a = 1  en  b = -2 en  c = 2.
De gezochte primitieve is dus  F(x) =  x2ex - 2xex + 2ex   
   
11. De primitieve van  sinx • sin2x is    1/2sinx - 1/6sin3x.  Toon dat aan.
       
12. De primitieve van  x • cosx  is     cosx + x • sinx.  Toon dat aan.
       
13. a. De primitieve van x2 • sinx  is  2x • sinx + (2 - x2) • cosx.  Toon dat aan.
     
  b. De primitieve van  x3 • sinx  is  (3x2 - 6) • sinx - (x3 - 6x) • cosx.  Toon dat aan
       
14. De afgeleide van tanx  is  tan2x + 1.
Gebruik dat om een primitieve van tan2x te bepalen.
     

tanx - x

15. a.
  b.
       
16. Een primitieve van f(x) = cos3x is de functie  F(x) = asinx • (cos2x + b)
Bereken de constanten a en b als dat zo is.
     

a = 1/3 en b = 2

17. Gegeven is de functie f(x) = 2xe1 - x
Het blijkt dat F(x) = af(x) + b f ' (x) een primitieve is van f.
Bereken a en b.
       
18. Een primitieve van f(x) = x •  lnx  is van de vorm F(x) = x2 • (alnx + b)
Bereken a en b
     

a = 1/2 , b = -1/4

19.
  Een primitieve van f is van de vorm  F(x) = a • lnx + b • ln2x .
Bereken a en b.
     

a b = 2

20. Gegeven is de functie  f(x) = x2e - 0,5x  
Een primitieve van f is van de vorm  F(x) = e-0,5x • (-2x2 + px - 16)
Bereken p.
     

p = -8

21. examenvraagstuk Wiskunde B, 1986.

Met domein R is voor elke p ∈ R gegeven de functie  fp  :  x   (2x2 + px)e-x
Gegeven is dat de functie   F  :  x (ax2 + bx + c)e-x   een primitieve functie van f3 is.
Bereken a, b en c.
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door K3 en de x-as.

     

7 - ee

22. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1987.

Met domein [-1/2π, 11/2π] is gegeven de functie  fx 3sin3x
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is F de grafiek van f
Met domein [-1/2π, 11/2π] is de functie  gx acos3x + bcosx,
waarbij  a ∈ R  en  b ∈ R, een primitieve van f.
Bereken a en b.
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door F en de x-as.
     

4

23. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2012.

Voor elke positieve waarde van a is een functie fa gegeven door  fa(x) = (1- ax) • eax   en een functie Fa gegeven door  Fa(x) = xe-ax

De functie Fa is een primitieve functie van fa.

     

  a. Toon dit aan
     
  De grafiek van fa snijdt de x-as in punt A (1/a, 0) en de y-as in punt B (0,1)
Zie de figuur.
De grafiek van fa verdeelt driehoek
OAB in twee delen
     
  b. Toon aan dat de verhouding van de oppervlakten van deze twee delen onafhankelijk is van a.
       
24. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2001.
       
  Met domein [0, π] is voor elke  a ∈ R een functie fa gegeven door: 
 fa (x) = cosx + asin2x

In de figuur hiernaast is voor enkele waarden van a de grafiek van  fa getekend.

Voor a > 0 is Va het vlakdeel ingesloten door de grafieken van fa en f-a

Bereken a in het geval dat de oppervlakte van Va gelijk is aan 6π.

     

a = 6

25. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2018-I.

Gegeven is de functie  f(x) = xex . In de volgende figuur is de grafiek van f getekend, en ook lijn l:  y =  1/ex.
Het vlakdeel tussen lijn l en de grafiek van f  is grijs gemaakt.
       
 

       
  Bereken exact de oppervlakte van het grijze vlakdeel.
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)