© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a.
       
    A + B = -2  en   -3A - 2B = 6
tweemaal de eerste optellen bij de tweede geeft -A = 2  dus  A = -2  en dan is B = 0
(dan had het sneller gekund door de noemer direct te schrijven als -2(x - 3))
    De breuk is dan  -2/(x - 2) en een primitieve is  -2ln|x - 2|
       
  b.
    Een primitieve daarvan is  2ln|x - 2| - 7/(x - 2)
       
  c.

    De primitieve van de eerste breuk is  ln|x2 - 4x + 6|
Het tweede deel kun je zo schrijven:
   
    Een primitieve daarvan is  11/2 • arctan(1/2√2 (x - 2)) • 1/√0,5 =  11/2√2 • arctan(1/2√2 (x - 2))

Samen geeft dat   ln|x2 - 4x + 6| + 11/2√2 • arctan(1/2√2 (x - 2))
       
  d.
    Een primitieve is dan   6ln|x + 3| + 16/(x + 3)
       
  e.
    Het eerste deel heeft primitieve  11/2 • ln|x2 - 2x + 4|
de tweede breuk kun je herschrijven:		  
   
    Een primitieve is dan   11/2 • -2/3 • arctan(1/3√3(x - 1)) • 1/√(1/3) = -√3•arctan(1/3√3(x - 1))
Samen geeft dat   11/2 • ln|x2 - 2x + 4| - √3•arctan(1/3√3(x - 1))
       
  f.
    Dat geeft de vergelijkingen  A + B = 1  en  5A - B = -7
Tel ze bij elkaar op:  6A = -6  dus  A = -1  en dan is B = 2
De breuk is dan  -1/(x - 1) + 2/(x + 5)
Een primitieve daarvan is  -ln|x - 1| + 2ln|x + 5|
       
2. u = √(x + 8)
u2 = x + 8
x = u2 - 8
x ' = 2u
 
  Die breuk kun je veranderen:
 
  Dat geeft  A + B = 1  en  2A - 4B = 0
A = 1 - B invullen in de tweede:   2 - 2B - 4B = 0  ⇒  B = 1/3  en dan is A = 2/3
 
  De grafiek van  y = 1/(2x - 4√(x + 8))  ligt onder de x-as, dus moet er voor de oppervlakte een minteken.
De oppervlakte is dan  -1/3ln5 + 2/3ln2 + 1/3ln4
       
       
3. a.
       
   
    Een primitieve is dan  1/3x3 - x + ln|x2 + 1| + arctan(x)
       
  b.
       
   

    Dat geeft  A + B = 2  en  2A = -1  dus  A = -1/2 en B = 5/2
De breuk is te schrijven als  -1/2x + 5/(2x + 4)

Een primitieve is  1/2x2 - x - 1/2ln|x| + 5/2ln|x + 2|
       
  c.
       
   
       
    Dat eerste stuk heeft primitieve 1/2ln|x2 - x + 2| en dat laatste stuk kun je herschrijven:
   
    Een primitieve is  10/7 • arctan(√(4/7)•(x - 1/2)) • √(7/4)

De totale primitieve is dan  x + 1/2ln|x2 - x + 2|  + 10/7 • arctan(√(4/7)•(x - 1/2)) • √(7/4)
       
  d.
       
   

    Een primitieve is dan   -ln(x2 + 2) - 4Ö2•arctan(1/2x√2)
       
4.
       
 
  A + B = 0 en  A = 1  geeft  B = -1
De breuk is dan   1/x - 1/(x + 1)  en een primitieve daarvan is  ln|x| - ln|x + 1|

De hele primitieve is dan   x + ln|x| - ln|x + 1|
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)