h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

"Omgekeerd Pythagoras"
Immers als  A is "de driehoek is recht"  en B is "a2 + b2 = c2" , dan zegt de stelling van Pythagoras dat  A ⇒ B.
Deze stelling hier beweert echter  B ⇒ A.
Bewijzen uit het ongerijmde zijn erg vaak geschikt om zulke omgekeerde stellingen te bewijzen.
Laten we maar eens beginnen aan te nemen dat we een driehoek hebben gevonden waarin  a2 + b2 = c2 geldt, maar die NIET rechthoekig is.
Dan zijn er twee mogelijkheden:  de hoek bij C is stomp of scherp.
Dat geeft de volgende twee figuren, elk met een gevolgtrekking eronder.
Teken CD loodrecht op AB met lengte b.
Dan geldt  BD2 = a2 + b2 = c2
Dus  BD = c
Dus de driehoeken ACD en ABC zijn gelijkbenig.
Dan zijn hun basishoeken gelijk.
Dus  ∠CDA = ∠CAD en  ∠BDA = ∠DAB
Voor de hoeken geldt dan:

BDA < CDA = CAD < DAB
Teken CD loodrecht op AB met lengte b.
Dan geldt  BD2 = a2 + b2 = c2
Dus  BD = c
Dus de driehoeken ACD en ABC zijn gelijkbenig.
Dan zijn hun basishoeken gelijk.
Dus  ∠CDA = ∠CAD en  ∠BDA = ∠DAB
Voor de hoeken geldt dan:

DAB < CAD = CDA < BDA
Beide gevallen leiden tot een onwaarheid, dus de oorspronkelijke aanname kan niet kloppen.
Daarmee is de stelling bewezen.