AANNAME:

Stel dat x een breuk is en dat xx rationaal is en dat x niet geheel is.

KUNNEN WE OP ONZIN UITKOMEN?

Dan is x te schrijven als a/b  (met a en b gehele getallen en b > 1, en a/b niet verder te vereenvoudigen.).
En ook is xx te schrijven als c/d  (c/d niet verder te vereenvoudigen)

(a/b)(a/b) = c/d  (beiden tot de macht b nemen)  ⇒  (a/b)a = (c/d)b  ⇒  aadb = cbba 

Elk geheel getal is slechts op n manier in priemfactoren te ontbinden. Stel dat getal b een priemfactor p heeft en dat die factor r keer voorkomt in de priemfactorontbinding  van b. Stel verder dat deze factor s keer in de priemfactorontbinding van d voorkomt.
Hoe vaak komt p dan voor in de vergelijking hierboven?

  in ba komt hij  ra keer voor
in a nul keer omdat a/b niet te vereenvoudigen is, dus in aa ook nul keer.
in db  komt hij sb keer voor met s > 0; dat moet omdat p in de rechterkant van de vergelijking minstens n keer voorkomt, dus moet dat ook in de linkerkant van de vergelijking. In a komt hij niet voor, dus moet hij welk in d voorkomen.
in c nul keer omdat hij in d voorkomt en omdat c/d niet te vereenvoudigen was. Dus in cb ook nul keer.

Omdat p aan beide kanten even vaak moet voorkomen moet gelden  ra = sb  ⇒  a/b = s/r
Maar omdat a/b niet te vereenvoudigen is, moet s/r dat wl zijn en zal dus b een deler van r zijn.
Dus het aantal keren dat p in b voorkomt is een veelvoud van b. Maar dan is b een veelvoud van pb.
En jawel, daar is de onzin al, want  pb is altijd groter dan b.

Dus kan de aanname niet waar zijn en is de stelling bewezen.