x3 + x + 1 = 0  heeft geen rationale oplossingen
Het begint (uiteraard) als volgt:  "Stel dat de vergelijking wl een rationale oplossing heeft"
Laten we deze oplossing p/q stellen, met p en q gehele getallen, en laten we aannemen dat de breuk p/q niet verder te vereenvoudigen is.
p/q invullen in de vergelijking en dan vermenigvuldigen met q3 geeft:
p3 + pq2 + q3 = 0
En nu gaan we gebruik maken van het oneven of even zijn van p en q. Daarvoor maken we gebruik van de twee tabelletjes hiernaast:  een opteltabel en een vermenigvuldigtabel voor oneven (o) en even (e) getallen.
Nu zijn er vier mogelijkheden voor p en q en de vergelijking:
  • p is oneven en q ook. Dan staat er in de vergelijking  o3 + oo2 + o3 = 0  ⇒  o + o + o = 0  ⇒  o = 0 en dat laatste klopt niet, want 0 is even.
  • p is oneven en q is even. Dan staat er  o3 + oe2 + e3 = 0  ⇒   o + e + e = 0  ⇒  o = 0  alweer fout!
  • p is even en q is oneven. Dan staat er  e3 + eo2 + o3 = 0  ⇒  e + e + o = 0  ⇒  o = 0  alweer fout!
  • p en q zijn even. Maar dat kan niet, want p/q was niet te vereenvoudigen.   
Kortom: alle mogelijkheden leiden tot iets dat niet klopt.
De enige mogelijke conclusie is dat de vergelijking geen rationale oplossingen kan hebben.