Op een schaakbord bestaan geen gelijkzijdige driehoeken.
Daarmee bedoelen we eigenlijk natuurlijk:
 

Door hoekpunten van velden met elkaar te verbinden is 
nooit een gelijkzijdige driehoek te maken. 


Het begint (uiteraard) z:
Stel dat zo'n driehoek wl zou bestaan.....
Uit de stelling van Pythagoras weten we dat een lengte tussen twee roosterpunten altijd te schrijven is als √c met c een geheel getal (c2 = a2 + b2). Dus de zijden van onze driehoek zijn alle drie te schrijven als √c. (c geheel)
Dan heeft de hoogtelijn (alweer via Pythagoras) lengte  √c√3
Dus de oppervlakte is  basis hoogte = c c√3 = c √3
Deze oppervlakte is niet als breuk te schrijven want √3 is niet als breuk te schrijven.
(het bewijs daarvan gaat alweer vanuit het ongerijmde: het gaat precies zo als voor √2 en dat staat HIER)
Conclusie 1 : 
De oppervlakte van zo'n driehoek is niet als breuk te schrijven.

Maar voor een driehoek waarvan alle hoekpunten roosterpunten zijn is de oppervlakte juist wl als breuk te schrijven. Dat zie je heel simpel  z:

Als de cordinaten van A, B en C gehele getallen zijn, dan zijn de rechthoekszijden van de bruine driehoeken k geheel. Dus is de oppervlakte van de bruine driehoeken samen te schrijven als ( basis hoogte) = ( geheel getal). Dus die van de gele driehoek ook, want dat is een rechthoek met gehele zijden (en dus gehele oppervlakte), waarvan ( geheel getal) wordt afgetrokken. 

Je kunt het trouwens ook zien met de beroemde "Wet van Pick":

A = I + 1/2B - 1

Daarin is A de oppervlakte van een figuur, I = aantal roosterpunten binnen de figuur en B = aantal roosterpunten op de omtrek van een figuur. 

Conclusie2:
Nietes! De oppervlakte van zo'n driehoek is wl als breuk te schrijven!
Samengevat:  ls zo'n driehoek zou bestaan dan is de oppervlakte niet als breuk te schrijven. 
Maar we weten dat de oppervlakte wl als breuk is te schrijven.

Dus zo'n driehoek bestaat niet. In geen enkel rooster trouwens!!!