Invasie.
 
Twee stappen het vijandige gebied in is makkelijk; dat kan met 4 soldaten. dat staat eigenlijk al gegeven in het voorbeeld (laat de twee soldaten linksonder weg)

Drie stappen het vijandige gebied in kan met 8 soldaten. Dat gaat als volgt (leesvolgorde):

Vier stappen vergt 20 soldaten. Een mogelijke oplossing (weer in leesvolgorde) staat hier.

Vijf of meer stappen blijkt onmogelijk! Zelfs met oneindig veel soldaatjes!!!!!
Dat is als volgt te zien:
Beschouw het volgende patroon:

... f3 f2 f 1 f f2 f3 ...
... f4 f3 f2 f f2 f3 f4 ...
... f5 f4 f3 f2 f3 f4 f5 ...
... ... ... ... ... ... ... ... ...

Leg dit patroon op het bord, met de 1 op het veld dat je graag uiteindelijk wilt bereiken.
Zorg er vervolgens voor dat  fx = fx+1 + fx+2 
Waarom? 
Bij een zet richting het eindpunt 1  worden twee soldaten op fx+1 en fx+2 vervangen door n nieuwe soldaat op fx. Dat betekent dat bij deze nummering de totale som van alle soldaten steeds gelijk blijft.
De "wet van behoud van soldatensom".

fx = fx+1 + fx+2    1 = f + f2    f = 1/2 - 1/25  JAWEL:  de gulden snede!!!!!!

Als je veld 1 vijf plaatsen in het vijandige gebied legt, dan zijn de rijen in het eigen gebied gelijk aan  
f
5 + 2f6 +2f7 + 2f8 + .... 
f6 + 2f7 +2f8 + 2f9 + .... 
f7 + 2f8 +2f9 + 2f10 + ....
enz.

Noem nu de som van de eerste rij  S1 =  f5 + 2f6 +2f7 + 2f8 + ....   
fS1 = f6 + 2f7 +2f8 + 2f9 + ....
S1(1 - f) = f5 + f6 = f4
Maar omdat 1 - f = f2  (immers   f2 + f1 = f0 = 1)  geldt dan S1 = f4 / f2 = f2

Op dezelfde manier geldt voor de som van de volgende rijen:  S2 = f3, S3 = f4, S4 = f5 ....
Als we nu alle rijen bij elkaar optellen krijgen we  S1 + S2 +  S3... =
f2 + f3 + f4 + ...
Maar voor de som S van deze rij geldt (op dezelfde manier als hierboven) dat S = 1

Conclusie: pas als we onder de grens alle velden volzetten met soldaten, oneindig veel dus, dan zal de totale som onder de grens gelijk worden aan 1. Met een eindig aantal soldaten zal het nooit lukken, dus is het vijfde veld nooit te bereiken.

Meer raadsels met zulk soort oplossingen.
Het idee van zo'n "Beschrijvende Functie" die constant blijft of opnieuw te berekenen is, is een erg machtig middel om raadsels op te lossen.
Hier volgen nog een paar mooie raadsels met zo'n soort oplossing:
1.  Promotie op kantoor.
Een kantoor bestaat uit een groot aantal kamers. Geen enkele kamer staat leeg. In elke kamer werken een aantal mensen, soms maar eentje (de directeur bijvoorbeeld is alleen) soms meer (de typistes zijn met erg veel).  Het aantal mensen waarmee je een kamer moet delen is bij dit bedrijf een soort van statussymbool geworden: hoe minder mensen, hoe hoger je in de hirarchie staat!
Men noemt iemand "gepromoveerd" als hij naar een kamer met minder mensen verhuist.

Het kantoor is vol, en er zijn op dit moment n kamers. De directie besluit uit te breiden en koopt er een naastgelegen pand bij met k kamers extra.
Men verspreid de collega's opnieuw over alle kamers, en weer blijft er geen kamer leeg.
Omdat er meer ruimte is, zullen een aantal collega's "promotie"krijgen.

Bewijs dat er minstens k + 1 mensen promoveren!

2. Een stapelprobleem.
Een kubus heeft afmetingen 7 bij 7 bij 7, en dus inhoud 343.
We gaan deze kubus volstapelen met blokjes van drie kubusjes (van 1 bij 1 bij 1) naast elkaar. Zie de figuur hiernaast.

"Ho, wacht even," zal de slimmerik meteen zeggen, dat past lekker niet, want 114 3 = 342, dus er gaan 114 zulke blokjes in, maar er blijft altijd n GAT!

Klopt, ik geef het meteen toe!

Maar het gaat ons er hier om: wr zit dat GAT?
Het gat kan aan de oppervlakte van de kubus zitten, maar ook er binnenin.

Bewijs dat, als het gat niet aan de oppervlakte zit, dat het dan alleen maar PRECIES het midden van de grote kubus kan zijn! Andere mogelijkheden zijn er niet.

3.  De veranderende kameleons
In een reservaat leven 45 kameleons.
Op dit moment zijn er 13 groen, 15 blauw en 17 rood, maar ja, met kameleons weet je het nooit; dat kan altijd veranderen.

Deze kameleons hebben echter een voorspelbare eigenschap:
Ze veranderen alleen van kleur als ze elkaar tegenkomen. Als twee verschillend gekleurde kameleons elkaar tegen komen veranderen ze beiden in de kleur die ze NIET hebben.
Als twee kameleons met dezelfde kleur elkaar tegenkomen dan gebeurt er niets: ze houden hun kleur.

Kunnen deze kameleons dan uiteindelijk allemaal dezelfde kleur hebben?

4. Ruzie in de tent 

Binnen een grote groep mensen heeft elk hoogstens drie vijanden. 
Neem aan dat "vijand zijn" wederzijds is; dus als A vijand van B is, is B dat ook van A.
Bewijs dat het mogelijk is om al deze mensen in twee kamers te verdelen zodat iedereen in zijn kamer hoogstens 1 vijand heeft.
5.  Solitaire
Het spel Solitaire maakt ook gebruik van een soort "beschrijvende functie".
Dat staat elders op deze website (bij spellen en dat vind je HIER)
6.  Het besmette vierkant.
Een speelbord met vierkante velden is besmet geraakt.  Elke stap breidt de besmetting zich uit, waarbij steeds velden besmet raken die in contact met twee andere besmette velden staan (horizontaal of verticaal, niet diagonaal)
Als de hoofddiagonaal in het begin besmet is ziet het er bijvoorbeeld z uit


Na een poosje is het hele bord besmet.
Bewijs dat een n bij n  bord alleen maar helemaal besmet kan raken als in het begin minstens n velden besmet zijn. 

7.  Gasten aan tafel
16 gasten zijn uitgenodigd voor een maaltijd. Zij zullen plaats gaan nemen rondom een grote ronde tafel. De gastheer heeft netjes 16 stoelen gelijk rondom de tafel verdeeld en bij elke plaats een naambordje gezet. Echter de gasten gaan zomaar willekeurig ergens zitten!
Is het dan altijd mogelijk om de tafel te draaien (terwijl de gasten in hun stoel blijven zitten) zodat er minstens twee gasten bij hun eigen naambordje zitten?
8. Breek een chocolade reep in stukken.
Hoeveel keer moet je een chocoladereep van N stukken breken totdat je alleen nog maar losse stukjes hebt? Je breekt steeds een stuk volgens een rechte lijn natuurlijk.
Hierboven staat een manier om in 7 keer een reep van 4 bij 2 in losse stukken te breken.
Kan het sneller? Hangt het af van de vorm van de reep?
9.  Niet-zo-geheime verbergplaats
Dagobert Duck bewaart in zijn kluis zilverstukken, goudstukken en diamanten.
Op dit moment heeft hij 45 zilverstukken, 78 goudstukken en 23 diamanten in de kluis liggen.
Zijn neef Donald kent echter het nummer van de kluis en haalt er af en toe dingen uit weg.
Hij neemt altijd 2 verschillende dingen tegelijk mee, en legt dan ook steeds tegelijk n ding van de derde soort uit zijn eigen voorraad weer terug in de kluis (zodat de totalen niet teveel gaan verschillen).
Op een gegeven moment ontdekt Dagobert onthutst dat alle dingen in zijn kluis hetzelfde zijn!

Ligt er dan nog zilver of goud of diamanten?

10.  Steentjes in een vaas.

(volgt later)