Solitaire

Een standaard solitaire-bord ziet er uit als hiernaast. Er staan 32 pionnen (rood) op een kruisvormig bord met in het midden een veld open (zwart). Een "zet" bestaat uit een pion die over een andere pion heenspringt naar een leeg veld vlak daarachter. De pion waar overheen wordt gesprongen wordt van het veld gehaald. Na 32 zulke zetten is het de bedoeling het veld helemaal leeg te hebben met in het midden nog één laatste pion.

Wiskundig gezien is dit niet een heel interessant spel. Met een beetje proberen kom je er wel. Een oplossing staat trouwens hier.

 

Veel interessanter is de vraag: welke eindposities zijn vanuit welke beginposities te bereiken?
Zou de volgende overgang bijvoorbeeld theoretisch mogelijk zijn?

Er is een elegante manier om een noodzakelijke (maar niet voldoende) voorwaarde voor het mogelijk zijn van een overgang te vinden. We kennen aan elk veld twee waarden toe, die we aangeven met  0, p, q of  r.
Verder definiëren we tussen deze vier waarden onze eigen soort "optellen":

r + p = q
r
+ q = p
p + q
= r
r + r = p
+ p = q + q = 0
p,q,r + 0 = p,q,r

Nu "nummeren" we het solitaire bord op de volgende manier:


Wat gebeurt er bij één solitaire-zet? Twee pionnen naast elkaar worden vervangen door één nieuwe. Als we bijvoorbeeld op het genummerde bord hierboven twee pionnen linksboven naast elkaar hebben staan (op qq en rr), en als de qq-pion over de rr -pion springt, geeft dat na afloop één pion op  pp.
En daarbij blijft zowel de som van de eerste "getallen" van de bezette velden als de som van de tweede "getallen" van de bezette velden gelijk. Tenminste als we de rekenregels hierboven gebruiken. Kijk maar:
Vooraf:  ( qq ) + ( rr ) = (q + r , q + r ) = (p , p)
Na afloop:  (p , p)
De nummering van de velden is zo gekozen dat dit altijd geldt! Dus als in een beplaalde beginpositie de som van alle eerste getallen van de bezette velden gelijk is aan p, dan is dat na een aantal zetten gegarandeerd nog zo! We hebben een soort van "Behoud-van-p" wet gevonden.

Terug naar de beide posities hierboven.
De beginpositie heeft als som van bezette velden (in leesrichting):
qq + rr + pp + pr + qp + rq + pq + qr + rp + pq + rp + pq + pp + qq + qq + rr + pr + qp + rq + pr + qp + qr

De eerste posities optellen (bedenk dat  p + q + r = 0):
q + r + p + p + q + r + p + q + r + p + r + p + p + q + q + r + p + q + r + p + q + q = 8p + 6r + 8q = 2p + 2q = 0

De tweede posities optellen:
q + r + p + r + p + q + q + r + p + q + p + q + p + q + q + r + r + p + q + r + p+ r = 7p + 8q + 7r = q

De hele begintoestand kun je karakteriseren als een (0 , q) toestand.
Tijdens alle mogelijke zetten zal dit een (0,q)-toestand blijven.

De eindtoestand is  (pr) + (pq) dus dat is een  (0, p) toestand.

Daarom zal de eindtoestand nooit bereikt kunnen worden vanuit deze begintoestand.

Nogmaals: deze elegante methode geeft alleen uitsluitsel als de toestanden NIET gelijk zijn. Het wel gelijk zijn is geen garantie dat de eindtoestand ook werkelijk bereikt kan worden. (neem als eenvoudig voorbeeld maar als begin een losse pion op qq rechtsboven en als eind een losse pion op qq rechtsonder)

Vierkant (n × n) bord.
Op de volgende manier kun je nog veel sneller ontdekken welke configuraties wel of niet bereikt kunnen worden vanuit een beginopstelling.
Kleur alle velden van het vlak als op de manier hiernaast. Bij het over elkaar springen kunnen er vier dingen gebeuren:

1. blauw springt over blauw.
in dat geval is de resulterende pion ook blauw
2. rood springt over rood
in dat geval is de resulterende pion blauw
3. rood springt over blauw
in dat geval is de resulterende pion rood
4. blauw springt over rood
in dat geval is de resulterende pion rood

In alle gevallen blijft het aantal rode pionnen even of oneven (wat het maar was vóór de sprong)

Conclusie:  even eindtoestanden kunnen alleen vanuit even begintoestanden bereikt worden, en oneven alleen vanuit oneven!