Verschilrijen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
Ik weet niet hoe het met jou is, maar als ik bij een IQ test of zo een rij getallen zie, en ik moet de volgende ervan proberen te raden, dan kijk ik eigenlijk meteen naar de verschillen tussen de getallen. Of er regelmaat zit in hoeveel erbij komt of vanaf gaat.
Neem de volgende rij:
 
4 - 6 - 10 - 16 - 24 - 34 - 46 - ....
 

Als je een beetje ervaring met regelmaat in rijen hebt, dan zie je meteen dat de verschillen van de getallen in deze rij gelijk zijn aan 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - 12 - ....
Dus de volgende getallen zullen zijn  60 - 76 - 94 - .... enz.

Laten we eerst even wat notatie zaken afspreken.
Δun  betekent  "hoeveel erbij is gekomen om un te krijgen vanuit de vorige un-1"
Ofwel  in formule:

 
Δun  = un -  un - 1
 
Als je de rij hierboven in een tabel zet, dan krijg je dit::
 
n 1 2 3 4 5 6 7 8
un 4 6 10 16 24 34 46 60
Δun - 2 4 6 8 10 12 14
 
Als je de middelste rij even vergeet is het niet zo moeilijk een directe formule voor Δun te maken.
De rij voor  Δun  is namelijk gewoon een rekenkundige rij. En die kennen we....
De formule daarvan is  Δun = 2n - 2
Maar dat maakt het mogelijk een recursieformule voor un zélf op te stellen, immers omdat  Δun = un -  un - 1   geldt  ook  un = un-1 + Δu
Een belangrijke eigenschap!!!!
 

un = un-1 + Δu

Deze formule maakt het mogelijk om een recursieformule van een rij te maken als we van de verschilrij een directe formule hebben. In bovenstaand geval zou de recursievergelijking dus worden:  un =  un -1 + 2n - 2

     
  OPGAVEN
 
1. Geef recursievergelijkingen voor de volgende rijen en bepaal met je GR de waarde van u20 .
De rijen beginnen steeds met u1.
         
  a. 8  - 10  -  16  -  26  -  40  -  58  -  ...  
  b. 50  -  54  -   57  -  59  -  60  -  60  -  59  -  .....

-45

  c. 0  -  1/2  -  5/6  -  13/12  -  77/60  -  87/60  -  ...
2,59774
  d. 1  -  9  -  36  -  100  -  225  -  ....  

44100

         
2. Gegeven is de rij  un = n2 + n
Geef een formule voor de verschilrij Δun van deze rij.
       

Δun = 2n

3. Voor de verschilrij van een rij un  geldt  Δun = 1/(n - n˛)
Geef een directe formule als u1 = 1.
       

un = 1/n

         
4.

         
  Bekijk de serie figuren hierboven.
In de eerste figuur (n = 1) zien we 1 vierkant, vandaar het getal 1 eronder.
In de tweede figuur (n = 2) zien we 4 vierkanten van 1 × 1 en ook 1 vierkant van 2 × 2. Samen is dat 5 vierkanten. Zo staat onder elke figuur hoeveel vierkanten er te zien zijn.
Dat geeft de rij getallen un met u1 = 1
         
  a. Bereken de getallen uit de verschilrij Δun en geef een directe formule voor Δun
         
  b. Bewijs dat geldt:  un = un-1 + n2
         
  c. Hoeveel vierkanten zijn er op een plein van 100 × 100 vierkante tegels te ontdekken?
       

338350

       
5. In het Noord-Hollandse dorp Limmen is op 12 juni 2005
het wereldrecord bierkratten-stapelen gebracht op 63365.
De top van de uiteindelijke krattenpiramide bestond uit één krat, de laag daaronder was 2 × 2 dus vier kratten, daaronder 3 × 3 dus negen kratten, enz.

Het totaal aantal kratten in n lagen is dus gelijk aan
Sn = 1 + 4 + 9 + ... + n2
         
  a. Maak een recursieformule voor Sn en onderzoek daarmee uit hoeveel lagen de piramide in Limmen bestond.
       

57 lagen

  b. Op hoeveel procent van de uiteindelijke hoogte was men toen men halverwege het aantal kratten was?
       

81%

  (In 2011 pakte het Duitse plaatsje Satow het record van Limmen af, met een aantal van 105995 kratten)
         
6. Hieronder staan een aantal kaartenhuizen getekend.
Het eerste huis kost 2 kaarten, het tweede kost 7 kaarten, het derde kost 15 kaarten enz.

Hoeveel kaarten kost het 50ste huis?

         
 

       

3775

   
7. Gegeven is de rij  un = n2 - 3n
vn
is de verschilrij van un.
Leg uit dat vn een rekenkundige rij is.
         
8. Als je een aantal lijnen tekent, dan kun je daarmee een vlak in een aantal vlakdelen verdelen.
Een interessante vraag daarbij is natuurlijk:  Hoeveel vlakdelen zijn er maximaal te maken met n rechte lijnen?
         
  a. Onderzoek dit probleem door een aantal gevallen uit te proberen.
         
  Als je een vlak in un delen hebt verdeeld door n lijnen te tekenen, dan heeft een volgende lijn die je tekent maximaal n nieuwe snijpunten.
         
  b. Leg duidelijk uit waarom daaruit volgt dat un+1 = un + n
         
  c. Wat is het maximale aantal vlakdelen als je 10 lijnen tekent?
       

56

         
Polynomen
 
Laten we eens een eenvoudige rij bekijken:  1 - 4 - 9 - 16 - 25 - 36 - 49 - 64 -  ...
Het is, dat heb je misschien al wel gezien, de rij van de kwadraten.
Ofwel  un = n2

De verschilrij daarvan is zo mogelijk nog eenvoudiger. Die staat in de volgende tabel:
 
un 1 4 9 16 25 36 49 64
Δun - 3 5 7 9 11 13 15
 
Die laatste rij zal je wel bekend voorkomen: de verschillen daarvan zijn allemaal gelijk aan 2.
Dus als we een volgende rij aan de tabel zouden toevoegen, waarin de verschillen van de verschillen staan, dan geeft dat steeds 2:
 
un 1 4 9 16 25 36 49 64
Δun - 3 5 7 9 11 13 15
Δ(Δun) - - 2 2 2 2 2 2
     
En nou komt het:  Dat blijkt voor elke kwadratische formule zo te zijn!!! 
Het blijkt dat de formule  un = an2 + bn + c altijd als tweede verschilrij geeft  2a.
Het bewijs daarvan staat hiernaast.
 
Van een kwadratische formule zijn de verschillen van de verschillen constant
un
= an2 + bn + c geeft als tweede verschillen 2a.
 
Oké, en hoe vinden we die b en c?
 
Dat is gelukkig erg makkelijk.
Als je  a hebt gevonden dan kun je van de tabel overal an2 van aftrekken.
Dat geeft een nieuwe tabel voor bn + c. Kijk maar naar het volgende voorbeeld:
 
n 0 1 2 3 4 5 6 7
un 3 2 7 18 35 58 87 122
Δun - -1 5 11 17 23 29 35
Δ(Δun) - - 6 6 6 6 6 6
 
Dus hieruit volgt dat 2a = 6, dus a = 3.
Maak nu een nieuwe tabel:
     
n 0 1 2 3 4 5 6 7
un 3 2 7 18 35 58 87 122
un - 3n2 3 -1 -5 -9 -13 -17 -21 -25
     
Die laatste rij is het lineaire verband  un = -4n + 3
Daarmee wordt de totale formule voor un:      un = 3n2 - 4n + 3
     
     
9. Hieronder vind je een aantal rijen, steeds beginnend bij n = 0
Zoek eerst uit van welke van deze rijen de directe formule een kwadratische formule is, en geef vervolgens van die rijen de directe formule.
De eerste term van de rij heet steeds u0.
         
  a. 4 - 4 - 8 - 16 - 28 - 44 - 64 - ...

un = 2n2 - 6n + 8

  b. 1 - 5 - 10 - 16 - 23 - 54 - 63 - ...

nee

  c. 6 - 71 - 126 - 171 - 206 - 231 - 246 - ...

un = -5n2 + 70n + 6

  d. 10 - 20 - 54 - 112 - 194 - 300 - 430 - ....

un = 12n2 - 2n +10

         
         
Kan het ook met hogere machten?
Jazeker.
Maar dat is meer iets voor een verdieping....
   
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)