Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Verschilrijen bij hogere-machts polynomen.

Eerst gaan we maar eens proberen wat regelmaat in die verschilrijen te ontdekken.
Laten we tabellen voor u_n = n² , u_n= n³ , u_n = n⁴ enz gaan maken, en dan steeds daarvan verschilrijen maken en dan verschilrijen-van-verschilrijen en dan verschilrijen-van-verschilrijen-van-verschilrijen. Dat doen we steeds totdat we op een rij constante getallen uitkomen. (de eerste hoort steeds bij n = 1)

n²
u_n	1	4	9	16	25	36	49	64
Δu_n	-	3	5	7	9	11	13	15
ΔΔu_n	-	-	2	2	2	2	2	2

n³
u_n	1	8	27	64	125	216	343	512
Δu_n	-	7	19	37	61	91	127	169
ΔΔu_n	-	-	12	18	24	30	36	42
ΔΔΔu_n	-	-	-	6	6	6	6	6

n⁴
u_n	1	16	81	256	625	1296	2401	4096
Δu_n	-	15	65	175	369	671	1105	1695
ΔΔu_n	-	-	50	110	194	302	434	590
ΔΔΔu_n	-	-	-	60	84	108	132	156
ΔΔΔΔu_n	-	-	-	-	24	24	24	24

n⁵
u_n	1	32	243	1024	3125	7776	16807	32768
Δu_n	-	31	211	781	2101	4651	9031	15961
ΔΔu_n	-	-	180	570	1320	2550	4380	6930
ΔΔΔu_n	-	-	-	390	750	1230	1830	2550
ΔΔΔΔu_n	-	-	-	-	360	480	600	720
ΔΔΔΔΔu_n	-	-	-	-	-	120	120	120

Zie je al hoe die laatste constante getallen afhangen van de macht van n?
Bij n²   is het 2
Bij n³   is het 6 en dat is 2 • 3
Bij n⁴   is het 24 en dat is 2 • 3 • 4
Bij n⁵   is het 120 en dat 2 • 3 • 4 • 5
....
Bij n¹⁰ is het 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 en dat is......10! ("tien faculteit")

Als de hoogste macht van een polynoom gelijk is aan h
dan geldt:


1.	de rij van de h^de verschillen is constant met verschil c
2.	*voor de term a • n^h* geldt dat c = a • h!**

Hoe het vinden van de rest van het polynoom in zijn werk gaat zal het volgende uitgebreide voorbeeld waarschijnlijk wel duidelijk maken.

Uitgebreid voorbeeld.

De volgende rij getallen hoort bij een polynoom. Zoek uit welk polynoom.

n	1	2	3	4	5	6
*u_n*	-2	34	196	652	1642	3478

Laten we rijen v met verschillen gaan maken totdat we op constante verschillen uitkomen:

n	1	2	3	4	5	6
*u_n*	-2	34	196	652	1642	3478
Δu_n	-	36	162	456	990	1836
ΔΔu_n	-	-	126	294	534	846
ΔΔΔu_n	-	-	-	168	240	312
ΔΔΔΔu_n	-	-	-	-	72	72

De rij van vierde verschillen geeft constante getallen dus de hoogste macht van n is n⁴a • 4! = 72 betekent dat a = 3. Dus het polynoom begint met 3n⁴ ......
Trek daarom 3n⁴af van de oorspronkelijke rij. Dat geeft:

n	1	2	3	4	5	6
u_n - 3n⁴	-5	-14	-47	-116	-233	-410

Ga hier weer zo'n tabel van verschillen van maken:

n	1	2	3	4	5	6
*u_n*	-5	-14	-47	-116	-233	-410
Δu_n	-	-9	-33	-69	-117	-177
ΔΔu_n	-	-	-24	-36	-48	-60
ΔΔΔu_n	-	-	-	-12	-12	-12

De rij van derde verschillen geeft een constante c = -12 dus b • 3! = -12 ofwel b = -2
Het polynoom begint met 3n⁴ - 2n³ ......
Trek daarom 3n⁴- 2n³af van de oorspronkelijke rij, en maak er weer verschilrijen bij. Dat geeft:

n	1	2	3	4	5	6
u_n - (3n⁴ - 2n³)	-3	2	7	12	17	22
Δ	-	5	5	5	5	5

Nu is de eerste rij verschillen al constant met c = 5. Dat betekent dat er geen term is met n² en dat voor de volgende term geldt d • 1! = 5 dus d = 5.
Het polynoom begint met 3n⁴ - 2n³ + 5n ......

Trek nu 3n⁴ - 2n³ + 5n af van de oorspronkelijk rij.

Dat geeft overal -8.

Dat betekent dat het polynoom is: 3n⁴ - 2n³ + 5n - 8

Hè hè......gevonden.

OPGAVEN

Geef polynomen bij de volgende rijen, steeds beginnend met u₁:

28 - 68 - 120 - 172 - 212 - 228 - ....

-2n³ +18n² +12

1 - 60 - 477 - 2032 - 6225 - 15516 - 33565 - 65472 - ...

2n⁵ - n²

0 - 33 - 208 - 705 - 1776 - 3745 - 7008 - 12033 - ...

3n⁴ - 4n² +1

972 - 919 - 824 - 675 - 460 - 167 - ...

-2n³ -3n² +1000

Wat zou je doen als de rij niet met u₁ zou beginnen, maar met bijvoorbeeld u₃?
Kun je een manier verzinnen om dan toch dit systeem te kunnen toepassen?

Bij het wereldrecord kratten stapelen in een eerdere opgave kwamen we de som 1 + 4 + 9 + 16 + ... + n²
tegen.
Maak een directe formule voor deze som.

¹/₃n³ + ¹/₂n² + ¹/₆n