Het Vaasmodel.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

voorkennis:
kans als frequentie
combinaties
Korte inhoud van het voorafgaande:
Ooit, lang, lang geleden hebben we "kans" als volgt omschreven:

Daarna zijn we die mogelijkheden handig gaan tellen, en kwamen we uit op het volgende:

Kies k dingen uit een verzameling van n,
•  zonder terugleggen.
•  de volgorde is niet van belang.

dan kan dat op = (n nCr k) manieren
Deze twee principes gaan we nu toepassen.

Probleem:
Neem een vaas met 8 rode en 5 blauwe knikkers.
trek er 5 uit zonder terugleggen.
Hoe groot is de kans op 3 blauwen en 2 roden?

Oplossing:

Laten we de aanpak van de "gunstige"  en de "totale"  mogelijkheden volgen.
Wat is het totaal aantal mogelijkheden (zonder voorwaarden aan de kleuren) om 5 knikkers uit een vaas van 13 te halen, waarbij de volgorde niet van belang is?
Nou dat staat hierboven: dat kun je met combinaties uitrekenen:   = 1287  manieren
Voor het aantal gunstige manieren gaat het erom op hoeveel manieren je 3 blauwen én 2 roden kunt trekken uit deze vaas.
3 blauwen uit de 5 blauwen kan op = 10 manieren, en 2 roden uit de 8 roden kan op = 28 manieren
Die moet je met elkaar vermenigvuldigen, immers bij élk van die 10 manieren voor de blauwen krijg je 28 nieuwe manieren voor de roden. Samen geeft dat dan  10 • 28 = 280 gunstige mogelijkheden.
De kans is dan  gunstig/mogelijk = 280/1287 ≈ 0,22
Als je er een beetje handig in wordt, dan schrijf je deze kans trouwens in één keer op:

1. a. In een vaas zitten 12 groene en 8 paarse knikkers. Iemand haalt er zonder terugleggen 6 knikkers uit.
Bereken de kans op precies 4 groenen.
   

0,3576
  b. In een doos zitten 8 zilveren en 6 rode en 12 gouden kerstballen. Iemand haalt er zonder terugleggen 8 ballen uit. Bereken de kans op 3 zilveren en 2 rode en 3 gouden ballen.
 

0,1183
  c. In een lottomachine zitten 50 balletjes, genummerd van 1 t.m. 50. Bij een trekking worden er 10 verschillende balletjes uitgehaald. Bereken de kans op 4 balletjes met een even nummer.
   

0,2181
d. De firma Klene verkoopt 4 soorten dropknopen (zie hiernaast).
Een klein jongetje heeft een zakje met 40 dropknopen. Hij heeft er 10 van 1 cent, 8 van 5 cent,  6 van 10 cent en 16 van 25 cent. Hij haalt er een handje met 12 dropjes uit. Hoe groot is de kans op van elke soort 3? 

0,0135
Misschien is je aan deze kansen al wel iets regelmatigs opgevallen.
Als dat zo is, kun je dan van deze 4 antwoorden meteen zeggen welke de foute is, alhoewel je niet eens weet bij welke vraag ze horen?

Oplossing:

nummer 2
Dat zit hem in het volgende. Neem bijvoorbeeld de derde oplossing (op een nog steeds onbekende vraag).
Daar valt het volgende aan op:

Voor de rode getallen geldt  9 + 8 + 4 = 21  en voor de blauwe geldt  3 + 1 + 2 = 6.
Dat geldt bij de andere antwoorden ook, behalve bij nummer 2, want 2 + 3 + 1 is niet gelijk aan 4. Daarom moet nummer 2 wel fout zijn. Deze eigenschap kun je handig gebruiken om te controleren of je niet iets verkeerd hebt gedaan.
Maar pas wel op;
Als je uit een vaas met  4 rode en 6 groene en 8 blauwe ballen zonder terugleggen 5 ballen haalt, en je wilt de kans berekenen op 3 groene en 2 blauwe, dan geeft dat  de combinaties hiernaast.
En daarbij klopt het regeltje hierboven niet, want 6 + 8 is niet 18.
Je kunt het wel kloppend maken door je te realiseren dat van de 4 rode ballen er 0 getrokken moeten worden. Dan geeft dat:

En nou klopt het weer wél.  Die 4 nCr 0 heeft verder geen invloed op het antwoord want dat is gelijk aan 1.
Het VAASMODEL.
Het hoeft bij dit soort berekeningen natuurlijk niet altijd om vazen of dozen of zakken te gaan met knikkers of ballen erin.
Ook andere problemen kun je vaak terugvertalen naar een vaas met ballen erin.  Je moet even goed nadenken over wat de vaas is, wat de ballen zijn en hoeveel je er uithaalt. Voorwaarde is altijd wél dat het om trekken zonder terugleggen gaat, en dat de volgorde niet van belang is.

Probeer de volgende vraagstukken maar te zien als een vaas met ballen.
   
  OPGAVEN
2. In een HAVO-5 klas zitten 28 leerlingen, namelijk 10 meisjes en 18 jongens. Er wordt een feestcommissie gekozen bestaande uit 5 leerlingen. Hoe groot is de kans dat er 3 jongens en 2 meisjes in zitten?
     

0,3736
3. Bij een loterij zijn in totaal 180 loten verkocht. Een notaris zal daaruit 6 loten trekken waarop een prijs valt. Op één lot zal de hoofdprijs vallen en op 5 loten een tweede prijs.
Gerrit heeft maar liefst 10 loten gekocht.
     
a. Bereken de kans dat hij 2 prijzen wint.
   

0,0348
b. Bereken de kans dat hij de hoofdprijs én 2 tweede prijzen wint.
   

0,0011
c. Bereken de kans dat hij geen enkele prijs wint.
     

0,7061
4. In een bioscoop bestaat een rij uit 30 stoelen, genummerd  1 t.m. 30. Op zo'n rij gaan 20 mensen willekeurig zitten. Bereken de kans dat de stoelen  2, 4, 6 en 8 leeg blijven.
     

0,0077
5. De zes klassen van een middelbare school bestaan uit de volgende aantallen leerlingen:
klas 1 2 3 4 5 6
aantal leerlingen 120 100 88 75 70 68
De school gaat meedoen aan "Het Lagerhuis"; dat is een debatteerwedstrijd voor scholen waar teams van 6 leerlingen aan meedoen. Men kiest willekeurig een team van 6 leerlingen van deze school.
Bereken de kans op:
     
a. een team met alleen onderbouwleerlingen (klassen 1, 2 en 3).
   

0,0163
b. een team met 3 leerlingen uit de 1e klas en 3 leerlingen uit de 4e klas.
   

0,00027
c. een team met uit elke klas precies één leerling.
     

0,0055
6. Bij bridge krijgt een speler 13 van de 52  kaarten (er zijn 13 kaarten van elke soort: schoppens, hartens, ruitens en klaveren). De 13 kaarten die een speler krijgt  noemt men een "hand".
     
a. Bereken de kans op een hand met  3 schoppens, 4 hartens, 3 ruitens en 3 klaveren, waarvan hiernaast een mogelijk voorbeeld staat.
   

0,0263
b. Een "Yarborough" is een hand met 13 kaarten zonder een A, H, V, B of  T  (dus alleen met 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2). Het voorbeeld hiernaast is inderdaad zo'n Yarborough.
Bereken de kans op een Yarborough.
   

0,0000039
c. "Goh, wat toevallig!" roept een speler uit. "Precies deze 13 kaarten had ik het vorige spel óók!"
Bereken dat kans dat zoiets gebeurt.
Als je elke week 28 spellen speelt, hoe lang moet je dan gemiddeld spelen voordat zoiets voorkomt?
   

2,3 • 1010 weken
 
7. De radarcontrole langs een bepaalde weg wordt 100 dagen per jaar ingeschakeld, en controleert of de auto's niet te hard rijden. Marianne rijdt 52 dagen per jaar langs deze weg, en zij rijdt altijd te hard.
Bereken de kans dat Marianne in een jaar precies zes bekeuringen krijgt.
     

0,0021
8. Op een grote tafel heeft Sinterklaas 30 verschillende cadeautjes neergelegd. De zusjes Els en Jolien kijken er begerig naar, en maken allebei een lijstje met de 10 cadeautjes uit deze 30 die zij het liefst willen hebben.
Hoe groot is de kans dat er precies 4 cadeautjes zijn die ze beiden op hun lijstje hebben staan?
     

0,2709
9. Een drukkerij heeft een oplage van 3000 boeken gemaakt, maar helaas zitten er 200 misdrukken bij. Die zijn echter per ongeluk willekeurig tussen de goede exemplaren terechtgekomen. De boeken zijn in 150 dozen met elk 20 stuks verpakt.
Boekhandel Selexyz uit Groningen heeft zo'n doos besteld.
Hoe groot is de kans dat er precies 2 misdrukken in deze doos zitten?
     

0,2448
10. In een wijnhandel staan 20 verschillende flessen zijn naast elkaar. De prijs van de flessen is ook verschillend.
Alle klanten mogen raden welke de duurste 10 flessen zijn. Ik heb eigenlijk helemaal geen verstand van wijn en schrijf maar zo willekeurig 10 namen op.
Hoe groot is de kans dat 7 van deze 10 namen inderdaad in de top 10 horen?
     

0,0779
       
11. Bij een spelletje poker heb ik twee ruitens gekregen. De dealer gaat vervolgens vijf kaarten uit het zelfde pak op tafel leggen.
Als ik in totaal met de twee ruitens in mijn hand en de ruitens op tafel vijf ruitens of meer heb heet dat een “FLUSH” en dan heb ik waarschijnlijk gewonnen.
Hoe groot is de kans dat dat gaat gebeuren? Geef je antwoord in drie decimalen.
     

0,064
       
12. Een vaas bevat drie keer zoveel rode als witte knikkers. Andere kleuren zijn er niet.
       
  a. Iemand trekt met terugleggen 5 keer een knikker uit deze vaas. Bereken de kans op 3 roden en 2 witten.
     

0,2637
       
  b. Iemand trekt in één greep 5 knikkers uit de vaas en berekent dat de kans op 3 roden en 2 witten gelijk is aan  0,2717.  Hoeveel knikkers zitten er in de vaas?
     

68
       
13. In de volgende tabel zie je van de 3 onderbouwklassen van een school hoeveel leerlingen lid van een sportclub zijn en hoeveel niet, uitgesplitst naar jongens en meisjes.
       
 
    klas 1 klas 2 klas 3
WEL lid jongens 8 12 7
meisjes 10 4 4
GEEN lid jongens 7 6 3
meisjes 5 6 8
       
  Kies uit deze drie klassen willekeurig zes leerlingen.
       
  a. Hoe groot is de kans op  4 jongens en 2 meisjes?
     

0,2735
  b. Hoe groot is de kans dat er precies 5 lid van een sportclub zijn?
     

0,1423
  c. Hoe groot is de kans op precies twee jongens uit de tweede klas?
     

0,1789
  d. Hoe groot is de kans op meer leden van een sportclub dan niet-leden?
     

0,4644
       
14. Als je gaat bowlen dan moet je op de baan altijd speciale schoenen aandoen. Meestal staan die schoenen netjes op afmeting gesorteerd per paar in een wandkast, zoals je hier ziet:
       
 

       
  Een nogal slordige bowlingbaaneigenaar heeft echter alle schoenen van maat 6 en 7 (de meest gebruikte maten) samen in één grote bak gegooid.
Hij had 10 paar van maat 6 en 16 paar van maat 7, dus er liggen maar liefst 52 schoenen in die bak.

Iemand haalt willekeurig 8 schoenen uit die bak
       
  a. Bereken de kans op 5 linkerschoenen en 3 rechterschoenen.
     

0,2273
  b. Bereken de kans op 4 paar schoenen van maat 7.
     

0,0044
  c. Bereken de kans op 4 paar schoenen.
     

0,0818
       
15. Een leraar Duits heeft een klas van 28 leerlingen. Hij overhoort elke les aan het begin vier van hen om te kijken of ze de woordjes wel geleerd hebben.
Als er meer dan 2 niet geleerd hebben dan geeft hij voor straf een schriftelijk aan de hele klas.
Als er minder dan twee niet geleerd hebben dan gaat hij gewoon verder met de les.
Als er precies twee niet geleerd hebben kiest hij weer 4 nieuwe leerlingen om te overhoren. Betrapt hij bij deze nieuwe groep meer dan 2 leerlingen, dan geeft hij een schriftelijk, in de andere gevallen gaat de les gewoon door.

Op een bepaalde dag hebben 8 van de 28 leerlingen hun huiswerk niet geleerd.
Voor de eerste groep van vier die hij overhoort blijkt de tabel hieronder te gelden.

aantal niet geleerd 0 1 2 3 4
kans 0,237 0,445 0,260 0,055 0,003
       
  a. Bereken het getal 0,260 uit deze tabel in vier decimalen nauwkeurig.
     

0,2598
  b. Hoe groot is de kans dat er vandaag een schriftelijk komt?
     

0,0672
       
16. Ik ben verslaafd aan BINGO. Elke vrijdagavond doe ik mee aan de wedstrijden bij mij in de straat. Bij BINGO  krijgt iedere deelnemer een kaart met 24 verschillende getallen (van 1 tm 100) erop. De wedstrijdleider heeft een vaas met 100 ballen (met de getallen 1 tm 100). Hij trekt ze één voor één eruit, en leest hardop het getal voor. Als het getal op mijn kaart staat mag ik het doorstrepen. Wie het eerst zijn kaart helemaal heeft doorgestreept roept hard "Bingo" en wint een prachtige toilettas of zoiets.

     
  a. Het ging goed vorige vrijdag. Van de eerste 5 getallen stonden er al 3 op mijn kaart. Hoe groot is de kans dat dat gebeurt?
     

0,0766
  b. Hoe groot was op dat moment (dus na die 5 ballen) de kans dat ik bij precies de vijftigste bal mijn kaart vol zal hebben?
     

6.2 • 10-9
  Ik win! "BINGO" roep ik trots door de zaal.
Deze keer krijg ik als beloning twee knikkers, en als echte wiskundige ben ik dol op knikkers. (Ik spaar ze allemaal in een vaas bij mij thuis). Er staan twee vazen. Vaas 1 heeft 10 rode en 10 witte knikkers. Vaas 2 heeft 5 rode en 15 witte knikkers. Ik kies met mijn ogen dicht een vaas en haal er daarna 2 knikkers uit.
       
  c. Hoe groot is de kans op 2 rode knikkers?  
     

0,1411
       
17. Voor je staat een doos met daarin 50 enveloppen. In 10 ervan zit een briefje van €100,-.
       
  a. Hoe groot is de kans dat jij minstens  €300,- hebt als je er 4 enveloppen uit mag halen?
     

0,0217
  b. Hoe groot is de kans dat jij precies €200,- hebt als je eerst met een dobbelsteen gooit en er vervolgens zoveel enveloppen uit mag halen als het aantal ogen dat je gooide?
     

0,125
  c. Stel dat je er slechts twee uit mag halen.
Hoeveel van de 50 enveloppen zouden €100,- moeten bevatten als de kans op precies €100,- gelijk zou zijn aan 3/7?
     

15 of 35
18. Een doos bevat 26 ballen, elk met een andere letter van het alfabet.
Joke haalt er zonder terugleggen 7 ballen uit.
       
  Hoe groot is de kans dat zij met de letters daarop haar naam kan maken?
       
     

0,0023
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)