Combinaties.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Neem het volgende probleem:

Een korporaal is leider van een groep van 8 soldaten. Hij wijst voor de komende verkenningsmissie drie vrijwilligers aan. Op hoeveel manieren kan hij dat doen?

Je zou misschien zeggen:  voor de eerste van de groep zijn er 8 mogelijkheden, daarna voor de tweede nog 7 en tenslotte voor de derde nog 6, dus dat geeft in totaal 8 • 7 • 6 = 336 mogelijkheden  (dat is trouwens 8 nPr 3).
Maar dan heb je een denkfout gemaakt!
Laten we de soldaten A tm H noemen, en al die groepjes van 3 gaan opschrijven. Dit zou het papiertje van de korporaal kunnen zijn:

ABC
ABD
ABE
ABF
ABG
ABH
ACB
ACD
ACE
ACF
ACG
ACH
ADB
ADC
ADE
...
BAC
BAD
BAE
BAF
BAG
BAH
BCA
BCD
BCE
BCF
BCG
BCH
BDA
BDC
BDE
...
CAB
CAD
CAE
CAF
CAG
CAH
CBA
CBD
CBE
CBF
CBG
CBH
CDA
CDB
CDE
... 
DAB
DAC
DAE
DAF
DAG
DAH
DBA
DBC
DBE
DBF
DBG
DBH
DCA
DCB
DCE
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Daar staan in totaal dus 336 groepjes.
Maar er zitten DUBBELEN bij!!!!
Je ziet bijvoorbeeld op het papiertje hierboven groepje ACD er al zes keer opstaan. En dat is natuurlijk zes keer het zelfde groepje dat op verkenning zal gaan. Dat komt omdat de volgorde waarin de soldaten worden gekozen NIET van belang is, het gaan er alleen om wie er gekozen worden. Je moet dit groepje natuurlijk niet 6 keer meetellen, maar slechts 1 keer.
Maar wacht eens even.....
ELK groepje staat er op deze manier zes keer in. Het totaal aantal echt verschillende groepjes dat we hebben gevonden is dus zes keer te groot, dus in werkelijkheid zijn er  336/6 = 56 verschillende groepjes mogelijk.
Dat getal 6 komt natuurlijk van het aantal manieren waarop drie letters gerangschikt kunnen worden. Voor de eerste letter zijn er 3 mogelijkheden, daarna voor de tweede nog 2, en tenslotte voor de laatste nog 1. Dat geeft in totaal 3 • 2 • 1 = 6 mogelijkheden.
Het mini-boompje hiernaast laat dat zien.

Dit aantal groepjes waarbij de volgorde dus NIET van belang is, heet het aantal combinaties van 3 uit 8.

combinaties
• kies k dingen uit een verzameling van n
• de volgorde is niet van belang
• het is zonder terugleggen
Je berekent het aantal combinaties door het aantal permutaties te delen door het aantal dubbelen k!  (zoals hierboven gedeeld moest worden door 3! = 6).

Je noteert het aantal combinaties van k uit n met twee getallen tussen haakjes zoals hierboven, en je spreekt het uit als  "n boven k"  of  "n over k"
Ook op je rekenmachine is uiteraard weer een knop voor de combinaties te vinden: de nCr knop.

Houd goed het verschil tussen permutaties en combinaties in de gaten:

combinaties:  de volgorde is NIET van belang;  het zijn groepjes
permutaties:  de volgorde is  WEL  van belang;  het zijn rijtjes
1. Een grote supermarktketen gaat zijn producten "labelen". Dat doen ze door op elk product een stickertje te plakken van een vierkant van 4 bij 4 hokjes die zwart of geel gekleurd kunnen zijn.

     
a. Hoeveel codes zijn er mogelijk met 10 gele en 6 zwarte hokjes, zoals hiernaast?
   

8008

b. Hoeveel codes zijn er in totaal mogelijk?
   

65536

 
2. De symbolen die in het display van een elektrische wekkerradio verschijnen zijn opgebouwd uit één of meer strepen van een rooster van 7 strepen:

  Bij de "6" hierboven staan 6 van de 7 strepen AAN, en bij de "1" maar 2 van de 7.
Hoeveel verschillende symbolen zijn in totaal mogelijk met 5 strepen AAN? (het hoeven uiteraard geen bestaande symbolen te zijn, alles mag).
 

  21 

 
3. Een volleybalclub bestaat uit 12 leden:  3 meisjes en 9 jongens.
Op trainingsavonden worden oefenwedstrijden gespeeld, waarbij de club wordt opgesplitst in twee partijen van elk zes leden. Hoeveel opsplitsingen zijn er waarbij niet alle meisjes bij elkaar in het team zitten?
     

  840 

4. Een sultan heeft een harem met daarin 14 vrouwen. Elke nacht laat hij aan het begin een groepje van 4 vrouwen zijn slaapkamer binnenkomen om de nacht mee door te brengen.
De sultan wil voor de afwisseling graag elke keer een ander groepje.
Hoeveel nachten kan hij dat volhouden?
     

1001  :)

5. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1990

Een planoloog wil graag weten op grond van welke eigenschappen de bewoners de straten van hun wijk beoordelen. Als onderdeel van zijn onderzoek legt hij een aantal proefpersonen groepjes van drie straten voor. Hij vraagt hen bij elk groepje aan te wijzen welke twee van de drie straten het meest op elkaar lijken.
Het onderzoek heeft betrekking op 10 straten, voor het gemak A, B, C, D, E, F, G, H, K, L genoemd. Hieruit worden alle mogelijke groepjes van 3 gevormd en elk groepje wordt op alfabetische volgorde op een kaartje geschreven. Hieronder zie je drie voorbeelden. 

a. Hoeveel kaartjes zijn er nodig?
   

  120 

b. Op hoeveel kaartjes komt straat A voor?
     

  36 

c. Op hoeveel kaartjes komen de straten A en B samen voor?
     

  8 

De proefpersoon gaat bij elk kaartje een keuze voor twee van de drie straten maken.
d. Onderzoek of het mogelijk is dat hij 7 keer voor de combinatie AB, 7 keer voor de combinatie AC en 7 keer voor de combinatie AD kiest.
     

JA

6. In een stoppenkast zitten 8 schakelaars die allemaal een stroomgroep bedienen. Deze schakelaars hebben allemaal twee standen:   een AAN- stand en een UIT-stand.
     
a. Op hoeveel manieren kunnen er vijf van acht schakelaars in de AAN-stand staan?
   

  56 

b. Hoeveel manieren zijn er in totaal mogelijk om de schakelaars in een willekeurige stand te zetten?
   

  256 

 
7. Een leraar begint elk jaar met 3 moppen te vertellen.
Dat doet hij al 21 jaar lang, maar hij heeft nog nooit dezelfde 3 moppen verteld.

Toon aan dat hij met dezelfde moppenvoorraad nog minstens 14 jaar door kan zonder dezelfde drie te vertellen.
       
8. Een klein jongetje gaat zijn verjaardag vieren, en hij mag van zijn ouders 8 vriendjes uitnodigen.  Helaas heeft hij 12 vriendjes, dus hij zal moeten kiezen.
       
  a. Op hoeveel manieren kan hij kiezen wie hij uitnodigt?
     

  495 

  Op zijn feestje geven ze hem één voor één een cadeautje.
       
  b.  Hoeveel verschillende volgorden zijn er voor hem om de cadeautjes te krijgen?
     

  40320 

       
9. Een leraar gaat in zijn klas van 28 leerlingen 4 verschillende boeken verloten.
       
  a. Op hoeveel manieren kan hij de boeken verloten als niemand meer dan 1 boek krijgt?
     

  491400 

  b. Op hoeveel manieren kan het als er wel leerlingen meerdere boeken mogen krijgen?
     

  614656 

  c. Op hoeveel manieren kan het als de boeken hetzelfde zijn, en elke leerling weer hoogstens één boek mag krijgen?
     

  20475 

       
10. Een klas bestaat uit 15 meisjes en 12 jongens.  Ze gaan een feestavond houden.
Daarvoor moet er een schoonmaakploeg van 8 leerlingen worden gekozen.
       
  a. Op hoeveel manieren kan men zo’n schoonmaakploeg kiezen?
     

  2220075 

  b. Op hoeveel manieren kan men zo’n schoonmaakploeg  kiezen als er  2 meisjes en 6 jongens in moeten zitten?
     

  97020 

  Voor de organisatie van een feestavond worden uit de overgebleven leerlingen nog drie leerlingen aangewezen.  De eerste leerling verzorgt de muziek, de tweede de drank en de derde de hapjes.
       
  c. Op hoeveel manieren kan men deze leerlingen kiezen?
     

  5814 

   

 

 
       
   
TOEPASSING:  ANAGRAMMEN
Een anagram van een woord is een ander woord dat je kunt maken door de volgorde van de letters te veranderen.
Zo kun je van  "TAK"  bijvoorbeeld  "KAT" maken, maar ook de niet-bestaande woorden  KTA, ATK, AKT en TKA.
In totaal zijn er zes anagrammen van "KAT"  (kenners zien natuurlijk direct hier het aantal permutaties: 3!).
Het wordt anders als sommige letters vaker voorkomen.
Van OOK zijn er bijvoorbeeld alleen maar  OKO  en KOO; geen 6 maar slechts 3.

Neem het woord  "HOTTENTOTTEN"
We gaan bekijken op hoeveel manieren we de letter van HOTTENTOTTEN door elkaar kunnen zetten.
Hoeveel woorden zijn er met de letters  E, E, H, N, N, O, O, T, T, T, T, T te maken?
Laten we proberen zo'n woord te gaan fabriceren.

Dat kan op twee manieren:

Methode 1: zet de letters stuk voor stuk op hun plaats.

Laten we beginnen met 12 stippen waar deze twaalf letters uiteindelijk moeten komen te staan:

Laten we nu de beide E's op een plaats zetten. Daarvoor moeten we 2 plaatsen uitkiezen uit de 12 om zo'n E op neer te zetten. Maar wacht eens even:
• kies er 2 uit de 12
• zonder terugleggen
• de volgorde is NIET van belang

Dat kan dan op  (12 nCr 2)  manieren. Dat zijn er  66.
Goed, stel dat we twee plaatsen voor de E hebben gekozen:

Voor de letter H zijn er daarna nog 10 mogelijkheden. (eigenlijk (10 nCr 1)  want je kiest er 1 uit de 10)
Samen zijn er al 66 • 10 = 660 mogelijkheden voor de letters EEH. Een mogelijkheid is:

Dan moet je voor de twee N's kiezen uit 9 plaatsen, dus dat kan op  (9 nCr 2) = 36 manieren.
Daarna voor de 2 O's  (7 nCr 2) = 21 manieren.
Tenslotte zijn er nog 5 plaatsen over voor de T's; dat kan maar op één manier.
In totaal geeft dat  66 • 10 • 36 • 21 • 1 = 498960 manieren. Eigenlijk komt dat dus van:

En als je de volgorde verandert geeft dat het zelfde resultaat. Laten we letters in omgekeerde volgorde op hun plek zetten, dan geeft dat:

Inderdaad hetzelfde resultaat.
Methode 2:  tel de dubbelen.
Er moeten 12 letters in een volgorde gezet worden. Dat kan in principe op 12! manieren.

Nu gaan we delen door de dubbelen:
- Er zijn twee E's, dus delen door 2!
- Er zijn twee N's, dus delen door 2!
- Er zijn twee O's dus delen door 2!
- Er zijn vijf T's dus delen door 5!
Dan blijft er over:

11. Hoeveel anagrammen zijn er van het woord  VERVELLEN?

15120

   
12. Twee bridge teams (A en B) spelen een wedstrijd over 28 spellen tegen elkaar. De wedstrijdvorm is "board-a-match" en dat betekent dat elk spel kan eindigen in winst (voor team A) of verlies (voor team A) of gelijk spel.
In deze wedstrijd blijkt team A  10 spellen te winnen, 12 te verliezen en op 6 spellen is het remise.
Op hoeveel mogelijke manieren kan dit resultaat tot stand komen?
   

2,44 • 1011

13. Een gezin van maar liefst 12 kinderen bestaat uit 8 jongens en 4 meisjes. Hoeveel mogelijke gezinsopbouwen (als je alleen let op jongen of meisje naar leeftijd) zijn er voor zo'n gezin?
   

495

14. De International Darts League (IDL)  was jarenlang een dartstoernooi in Nijmegen. Na een aantal voorrondes en kwartfinales en halve finales spelen de laatste twee overgebleven darters een finale. Daarvoor geldt een "Best-of- 25".  Dat betekent dat de eerste die 13 sets wint de winnaar is.
In 2006 won onze eigen Raymond van Barneveld de IPC van Colin Lloyd met 13-5 en won daarmee €30000.

 

Hoeveel wedstrijdverlopen kunnen leiden naar de eindstand van 13-5 winst voor onze Raymond? (denk erom dat Raymond in ieder geval de laatste set moest winnen!)
     

6188

15. Iemand heeft zin om een alternatief potje schaak te spelen. 
Hij wil de stukken op de achterste rij in een willekeurige beginvolgorde zetten (zowel voor zwart als voor wit). Alles is daarbij toegestaan, dus ook bijvoorbeeld twee dezelfde kleur lopers zoals zwart in het voorbeeld hiernaast heeft.

Hoeveel verschillende beginopstellingen zijn er mogelijk?

 

25401600

16. Een lange trein bestaat uit de volgende wagons:

•  1 locomotief
•  5 goederenwagons
•  10 eersteklas passagierswagons
•  12 tweedeklas passagierswagons
•  3 restauratiewagons.

De locomotief moet uiteraard vooraan, maar verder kunnen alle wagons willekeurig achter elkaar geschakeld worden.

Hoeveel mogelijke treinen zijn er te maken?
     

2, 12 • 1014

       
17. Een wijnliefhebber drinkt in de maand november samen met zijn vrouw elke dag een fles wijn leeg. Ze drinken alleen rode en witte wijn. Al hun flessen rode wijn zijn hetzelfde, en ook al hun flessen witte wijn zijn gelijk.
       
  a. Op hoeveel manieren kunnen zij deze maand wijn drinken als ze van beide soorten 30 flessen hebben?
     

1073741824

  b. Op hoeveel manieren kunnen zij deze maand wijn drinken als zij 10 flessen witte wijn hebben en 20 flessen rode wijn?
     

30045015

  c. Op hoeveel manieren kunnen zij deze maand wijn drinken als zij 20 flessen rode wijn en 12 flessen witte wijn hebben?
     

171165540

 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)