h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek III, propositie 33.
       

Je kunt op  een gegeven lijnstuk een cirkelsegment tekenen
met een hoek gelijk aan een gegeven hoek.

       
Begin met een hoek H en een lijnstuk AB.

Geval 1.  De hoek H is scherp.
Teken vanaf punt A een lijn met een  hoek even groot als hoek H. (I-23)
Teken AD loodrecht op die lijn  (I-11)
(de plaats van D is nog niet bekend)
Teken het midden C van AB (I-10) 
Teken CM loodrecht op AB, M het snijpunt met AD (I-11)
Teken MB
AC = BC, MC = MC, en de hoeken bij C zijn beiden 90
Dus de driehoeken ACM en BCM zijn congruent (ZHZ) (I-4)
Dus MA = MB
Teken de cirkel met middelpunt M en straal MA, dan ligt B dus ook op die cirkel.
De lijn door A loodrecht op AB is de raaklijn aan de cirkel (gevolg van (III-16))
De rode hoeken zijn gelijk (hoek koorde en raaklijn)  (III-32)
dus hoek D is gelijk aan hoek H. 
Het gele segment is het goede.
       
Geval 2.  Hoek H is recht.

Teken een lijn door A loodrecht op AB.  (I-11)
Teken het midden C van AB. (I-10) 
Teken de cirkel met middelpunt C en straal AC.

De lijn door A loodrecht op AB is de raaklijn aan de cirkel (gevolg van (III-16))

Dan is de hoek ADB ook recht, en dus gelijk aan hoek H.  
(III-32)

Het gele segment is het goede.

       
Geval 3,  Hoek H is stomp.

Teken vanaf punt A een lijn met een  hoek even groot als hoek H. (I-23)
Teken AD loodrecht op die lijn  (I-11)
(de plaats van D is nog niet bekend)
Teken het midden C van AB (I-10) 
Teken CM loodrecht op AB, M het snijpunt met AD (I-11)
Teken MB.
AC = BC, MC = MC, en de hoeken bij C zijn beiden 90
Dus de driehoeken ACM en BCM zijn congruent (ZHZ) (I-4)
Dus MA = MB
Teken de cirkel met middelpunt M en straal MA, dan ligt B dus ook op die cirkel.
De lijn door A loodrecht op AB is de raaklijn aan de cirkel (gevolg van (III-16))
E is een willekeurig punt op de cirkel (aan de andere kant dan hoek A)
De rode hoeken zijn gelijk (hoek koorde en raaklijn)  (III-32)
dus hoek E is gelijk aan hoek H. 
Het gele segment is goede.
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)